3.1.2 第1课时 排列与排列数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

3．1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列 2．会用排列数公式进行求值和证明 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养 [情境引入] 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排． 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ [知识梳理] [知识点一]　排列的概念　 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，　m＝n　时的排列(即　取出所有对象　的排列)称为全排列． (3)排列中元素所满足的两个特性 ①无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题． ②有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 1.排列中“一定顺序”的含义是什么？ 提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置不同时排列也就不同． 2．排列定义中的两个要素是什么？ 提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定顺序排列”． 3．两个排列相同的条件是什么？ 提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． [知识点二]　排列数及排列数公式　 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的　所有排列　的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 A＝　n(n－1)　 　(n－2)…(n－m＋1)　 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝　n×(n－1)×(n－2)×…×2×1　＝　n！　 规定 0！＝　1　，A＝　1　 　4.“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示： “排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. [预习自测] 1．判断正误 (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　　) (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．(　　) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　　) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A　　 B．A　　　 C．A　　 D．A 解析：C　[A＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[由排列的定义可知，共有A＝3×2×1＝6种排列方法．] 4．(教材P14A组T2)改编)＝________. 解析：＝＝. 答案： 　排列概念的理解 [例1] 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果有否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 　　“树形图”在简单排列中的应用 [例2] 写出下列问题的所有排列． (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． [思路点拨]　(1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出． 解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数． (2)由题意作树形图，如图． 故所有的排列为：abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb，共有24个． 利用“树形图”法解决简单排列 问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． [变式训练] 2．四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来． 解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种)． 画出树形图： 由“树形图”可知，所有坐法为 ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 排列数公式的推导及应用 [例3] 计算：； (2)求3A＝4A中的x. [思路点拨]　(1)可直接运算，也可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x的范围． 解：(1)法一：＝＝＝. 法二：＝＝＝＝. (2)原方程3A＝4A 可化为＝， 即＝，化简， 得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由题意知，解得x≤8. 所以原方程的解为x＝6. (1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； ②对含有字母的排列数的式子进行变形． 注意常用变形A＝nA，nA＝A－A，n·n！＝(n＋1)！－n！的应用． (3)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量．A中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． [变式训练] 3．(1)等于(　　) A．12　 B．24　　 C．30　 D．36 解析：D　[A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.] (2)A＝9×10×11×12，则m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[根据公式A＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)知，m＝4.] [当堂达标] 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．] 2．(n－3)(n－4)…(n－9)(n－10)(n∈N*，n＞10)可表示为(　　) A．A B．A C．A D．C 解析：B　[(n－3)(n－4)…(n－9)(n－10)＝(n－3)(n－3－1)…(n－3－6)(n－3－7)＝A，故选B.] 3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出．] 4．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有________种． 解析：A＝4×3＝12. 答案：12 5．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．(填数字) 解析：司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知，共有AA＝36(种)不同的安排方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$