3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　基本计数原理的应用 课程标准 素养解读 1.熟练应用两个计数原理 2．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题 1.借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养 2．通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养 [情境引入] 十三届全国人大三次会议在京召开，某政协委员5月19日从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组，假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车组有4个班次． 问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ 问题2：如果该委员需要在5月19日先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，问：此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？ [知识梳理] [知识点一]　两个计数原理的区别与联系　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 [知识点二]　两个计数原理的应用　 解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明， 先后有序，还需特别注意以下两点： (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． (2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想． [预习自测] 1．判断正误 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数学给教室里的座位编号，总共能编出26＋10＝36种不同的号码．(　　) (3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事．(　　) 提示：(1)× .在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法． (2)√. 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码． (3)√. 在分类加法计数原理中的每一种办法都是独立的，可单独完成这件事． 2．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担任学生会主席，共有________种不同选法． A．100　　 B．102　　　 C．152　　 D．50 解析：C　[这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．] 3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 解析：B　[完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法．] 4．用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的偶数． 解析：用1,2,3这三个数字能写出1个一位偶数，2； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数，12,32； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数，132,312. 所以用1,2,3这三个数字共能写出5个没有重复数字的偶数． 答案：5 　组数问题 [例1] 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2 000大的四位偶数？ [思路点拨]　(1)用分步乘法计数原理求解(1)问； (2)0 不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解； (3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解． 解：(1)分步解决． 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步；选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)． (2)分步解决． 第一步：首位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3＝300(个)． (3)法一：按末位是0,2,4分为三类： 第一类：末位是0的有4×4×3＝48个； 第二类：末位是2的有3×4×3＝36个； 第三类：末位是4的有3×4×3＝36个． 则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)． 法二：按千位是2,3,4,5分四类： 第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)； 第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)； 第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)； 第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)． 则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)． 法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)； 第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)． 共有60＋96＝156(个)． 其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)． 对于组数问题，应掌握以下原则： (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位或两位以上的数的最高位． [变式训练] 1．(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24　　 B．18　　　 C．12　　 D．6 解析：B　[由于三位数是奇数，分两类：奇偶奇和偶奇奇．(1)若是奇偶奇，则个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；(2)若是偶奇奇，则个位有3种选择，十位有2种选择，百位不能选0，有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．因此总共有12＋6＝18(种)情况．] (2)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的四位数中，比2019大的数的个数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：B　[当首位为3时，都满足，共有3×2×1＝6(个)；当首位为2，百位为1或3时，都满足，此时共有2×2×1＝4(个)；当首位为2，百位为0时，只有2031满足．综上，共有6＋4＋1＝11(个)．] 　选(抽)取与分配问题 [例2] 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 [思路点拨]　由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解． 解析：C　[法一：(直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类： 第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9种； 第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27种． 综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)． 法二：(间接法) 先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [变式训练] 2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 解析：法一：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 根据分步乘法计数原理得： 共有方法数N＝5×4×3＝60(种)． 法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5, 分成以下10类： 第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)； 第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)； 第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)； 分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法． 根据分类加法计数原理得，共有方法数 N＝6＋6＋…＋6＝60(种)． 涂色(种植)问题 [例3] 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． [思路点拨]　分不相邻的地块种植作物可能相同也可能不同讨论． 解析：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. ①若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法． ②若第三块田放a： a b a 第四块有b或c两种方法， (ⅰ)若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法； (ⅱ)若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c，共1种方法． 综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法． [例4] 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 [思路点拨]　注意小方格中第2个和第3个所涂颜色可能相同，也可能不同，故应分两类：所涂颜色相同和不同，分别求解． 解：第1个小方格可以从5种颜色中任何一种颜色涂上，有5种不同的涂法． ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法． ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法． 由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法． 解决涂色(种植)问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． [变式训练] 3．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则共有________种不同的栽种方法． 解析：分两大类． 第一大类，6,5,1,2四部分栽种4种不同颜色的花，共分两步． 第1步，在6,5,1,2四部分栽种不同颜色的花，共有4×3×2×1＝24(种)不同栽法； 第2步，栽种3,4部分，又有两类．第1类，3与6栽种的颜色相同，4与2栽种的颜色相同，有1种栽法；第2类，3与5栽种的颜色相同，4与2或6栽种的颜色相同，有2种栽法，共有1＋2＝3(种)栽法． 由分步乘法计数原理，第一大类共有24×3＝72(种)不同的栽种方法． 第二大类，在6,5,1,2四部分中，2与5栽种的颜色相同，可分三步． 第1步，栽种6,5,1部分，可从4种颜色的花中选3种进行栽种，有4×3×2＝24(种)栽法； 第2步，栽种第2部分，与5相同，有1种栽法； 第3步，栽种3,4部分，又有两类．第1类，3与6相同，4栽种剩余的第4种颜色的花，有1种栽法；第2类，3栽种剩余第4种颜色的花，4与6栽种相同颜色的花，有1种栽法，共有2种栽法． 由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2＝48(种)不同的栽种方法．故共有72＋48＝120(种)不同的栽种方法． 答案：120 [当堂达标] 1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有(　　) A．48种　 B．24种　　 C．14种　 D．12种 解析：A　[从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．] 2．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数字的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．648 解析：B　[0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．] 3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种． 解析：A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法． 答案：108 4．5名班委员进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________． 解析：根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得出共有1×3×6＝18种分工方案． 答案：18 5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？ 解：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$