4.3.1 第2课时 相关系数与非线性回归-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)； (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． [思路点拨]　 利用相关系数公式结合题中所给数据求解相关系数． 解：(1)由已知得样本平均数eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,20)eq \o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000. (2)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数 (3)分层抽样；根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样． 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． 1．判断变量的相关性通常有两种方式：一是散点图，二是相关系数r，前者只能粗略的说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱． 2．只有当两变量间呈线性相关关系时，才可以求回归系数，得到回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))；若两变量间的关系不是线性相关关系，应观察分析其散点图，找出拟合函数，通过变量代换把非线性回归问题转化为线性回归问题． [变式训练] 假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝90，eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq \o\al(2,i)≈140.8，eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3，eq \r(79)≈8.9，eq \r(2)≈1.4. (1)计算y与x之间的相关系数(精确到0.001)，并求出回归直线方程； (2)根据回归方程，预测假设使用年限为10年时，维修费用约是多少万元？ 解：(1)∵eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5. eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5eq \o(x,\s\up6(－)) eq \o(y,\s\up6(－))＝112.3－5×4×5＝12.3， eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)－5eq \o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10， eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5eq \o(y,\s\up6(－))2＝140.8－125＝15.8， 所以r＝eq \f(12.3,\r(10×15.8))＝eq \f(12.3,\r(158))＝eq \f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq \f(12.3,1.4×8.9)≈0.987. 又eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23. eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08. 所以回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08. (2)当x＝10时，eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即假设使用10年时，维修费用约为12.38万元． 非线性回归分析 [例3]　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． x y w eq \o(,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (xi－x)2 eq \o(,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (wi－w)2 eq \o(,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (xi－x)(yi－y) eq \o(,\s\up6(8),\s\do4(i＝1)) (wi－w)(yi－y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝eq \r(xi)，eq \o(w,\s\up6(－))＝eq \f(1,8)eq \o(,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))wi. (1)根据散点图判断.eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))x与eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(c,\s\up6(^))＋eq \o(d,\s\up6(^)) eq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为eq \o(z,\s\up6(^))＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题； ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \o(v,\s\up6(^))＝eq \o(α,\s\up6(^))＋eq \o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： [思路点拨]　 　eq \x(\a\al(由样本点画,出散点图))→eq \x(\a\al(找出拟合,函数曲线))→eq \x(\a\al(转化为线性回,归模型解题)) 解：(1)由散点图可以判断，eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(c,\s\up6(^))＋eq \o(d,\s\up6(^)) eq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝eq \r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．由于 所以y关于w的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(x). (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值eq \o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6， 年利润z的预报值eq \o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值eq \o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6×eq \r(x)＋20.12.所以当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8， 即x＝46.24时，eq \o(z,\s\up6(^))取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 1．非线性回归问题的处理方法 (1)指数型函数y＝ebx＋a类 ①函数y＝ebx＋a的图象，如图1. 图1 ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据求解线性回归模型的方法求出a，b. (2)对数型函数y＝bln x＋a类 ①函数y＝bln x＋a的图象，如图2. 图2 ②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a， 再根据求解线性回归模型的方法求出a，b. (3)函数y＝bx2＋a类 处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据求解线性回归模型的方法求出a，b. 2．解非线性回归分析问题的一般步骤 有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据画出散点图，与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决． 一般步骤为： 说明：由于涉及的数据比较多，考虑到可操作性，考试时往往会给出散点图，或将画散点图这一步骤省略，只需要选一些数据，画一下草图，作出判断即可，并且相关数据都会直接给出． [变式训练] 3．某工厂每日生产一种产品x(x≥1)吨，每日生产的该产品当日销售完毕，日销售额为y万元，产品价格随着产量的变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x，y的一组统计数据，如下表： 日产量x(吨) 1 2 3 4 5 日销售额y(万元) 5 12 16 19 21 (1)请判断eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))与eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(d,\s\up6(^))ln x＋eq \o(c,\s\up6(^))中哪个模型更适合刻画x，y之间的关系，并从函数增长趋势方面给出简单的理由； (2)根据你的判断及下面的公式和数据，求出y关于x的回归方程，并估计当日产量为6吨时，日销售额是多少．(结果保留整数) 参数公式：经验回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中， 解：(1)eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(d,\s\up6(^))ln x＋eq \o(c,\s\up6(^))更适合刻画x，y之间的关系．理由：由题表中的数据可知，x的值每增加1，函数值y的增加量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，符合对数函数模型的增长规律，与一元线性回归模型的均匀增长存在较大差异，故eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(d,\s\up6(^))ln x＋eq \o(c,\s\up6(^))更适合刻画x，y之间的关系． 当x＝6时，日销售额为10ln 6＋5≈23(万元)． [当堂达标] 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　) A．甲　　　 B．乙　　　　 C．丙　　　 D．丁 解析：D　[r的绝对值越接近1，相关性越强，故选D.] 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到散点图如图8.2－1所示． 图8.2－1 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx　　　　　 B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 解析：D　[由散点图可以看出，随着温度x的增加，发芽率y增加到一定程度后，变化率越来越慢，符合对数型函数的图象特征．] 3．如图所示，有A，B，C，D，E共5组数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系． 解析：D　[当散点图中的点分布在一条直线附近时，样本数据有较强的线性相关关系，可知应去掉D组数据．] 4．若回归直线方程中的回归系数eq \o(b,\s\up6(^))＝0，则相关系数r＝________. 答案：0 5．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据散点图判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系，并用样本相关系数r加以说明(若r>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； (2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量． 解：(1)可以用线性回归模型拟合y与x的关系．易得eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5， eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14， eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20， eq \o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up6(－)))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10. eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))＝5－0.7×5＝1.5，∴eq \o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.5. 当x＝12时，eq \o(y,\s\up6(^))＝0.7×12＋1.5＝9.9. ∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量为9.9百千克． $$