4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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1.通过回归直线方程及相关关系的学习，体会数学建模与直观想象的素养 2．借助回归直线方程的求法，培养数学运算的素养 [情境引入] 如果刑警在案发现场提取到罪犯的脚印，那将获得一条重要的破案线索，你能说明一下其中的原因吗？ [知识梳理] [知识点一]　相关关系　 如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以　互相决定　的程度，它们之间的关系带有一定的　随机性　，像这样两个变量之间的关系，统计学上都称为相关关系． 1.相关关系与函数关系有什么区别和联系？ 提示：相关关系与函数关系辨析 分类 函数关系 相关关系 特征 变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了 变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性 [知识点二]　线性相关　 1．散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． 2．线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用　一次　函数来刻画，则称x与y线性相关． 3．正相关和负相关 若x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也　增大　，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上　减少　，则称这两个变量负相关． 2.正相关与负相关是对所有具有相关关系的两个变量而言的，对吗？ 提示：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而言的． [知识点三]　回归直线方程　 1．一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值eq \o(y,\s\up6(^))i＝bxi＋a， 如果一次函数eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))能使残差平方和，即 　(eq \o(y,\s\up6(^))1－y1)2＋(eq \o(y,\s\up6(^))2－y2)2＋…＋(eq \o(y,\s\up6(^))n－yn)2＝eq \o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up6(^))i)2　 取得最小值，则eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得　平方和　最小，所以其中涉及的方法称为　最小二乘法　. 其中，回归系数eq \o(b,\s\up6(^))＝　eq \f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)　 eq \o(a,\s\up6(^))＝　eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))　. eq \o(x,\s\up6(－))＝　eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq \f(1,n) eq \o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi　； eq \o(y,\s\up6(－))＝　eq \f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn)＝eq \f(1,n) eq \o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi　. 3.线性回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))x中eq \o(b,\s\up6(^))的实际意义是什么？ 提示：eq \o(b,\s\up6(^))表示x每增加1个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))的变化量，即x每增加1个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))相应地平均增加eq \o(b,\s\up6(^))个单位． [知识点四]　回归直线方程：eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))的性质　 (1)回归直线一定过点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))． (2)回归系数eq \o(b,\s\up6(^))的实际意义 ①eq \o(b,\s\up6(^))是回归方程的　斜率　； ②当x增大一个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))增大　eq \o(b,\s\up6(^))　个单位． 4.y与x正负相关的充要条件分别是什么？ 提示：当eq \o(b,\s\up6(^))>0时，y与x正相关，反之也成立，同理eq \o(b,\s\up6(^))<0是y与x负相关的充要条件． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)现实生活中的两个变量要么是函数关系，要么是相关关系．(　　) (2)散点图能准确判定两个变量是否具有线性相关关系．(　　) (3)回归直线不一定过样本中的点，但一定过样本点的中心．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(多选)在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是(　　) A．汽车的重量和百公里耗油量． B．正n边形的边数与内角度数之和． C．一块农田的小麦产量与施肥量． D．家庭的经济条件与学生的学习成绩． 解析：AC　[汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．在合适的范围内，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多．A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．] 3．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y与x之间的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋1，则eq \o(b,\s\up6(^))＝________. 解析：eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4)＝2.6， 将(2,2.6)代入eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋1，解得eq \o(b,\s\up6(^))＝0.8. 答案：0.8 变量间相关关系的判断 [例1]　(1)下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号) ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． [思路点拨]　依据相关关系的概念判断 解析：在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 答案：②④ (2)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 ①将上述数据制成散点图． ②你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量具有什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ [思路点拨]　画出散点图进行判断． 解：①散点图如图． ②从图中可以发现当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的散点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．结合实际可知，水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增长． 两个变量是否相关的两种判断方法 1．根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断． 2．利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． [变式训练] 1．(1)下列两个变量之间，是相关关系的有(　　) ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥　　　　　 B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 解析：C　[①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系．] (2)为10对中国父子测量身高(英寸)如下： 父亲身高(x) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高(y) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 试根据上述资料： (1)画出散点图； (2)变量x和y之间是否具有线性关系？ (3)常说，父亲高，儿子肯定不矮，你赞成这种说法吗？ 解：(1)图略．　(2)由散点图可知，变量x和y之间有线性相关关系． (3)赞成．父亲的身高与儿子的身高是相关关系． 　 求回归直线方程 [例2] 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表. x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出散点图； (2)求y与x之间的回归方程； (3)利用回归方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少． [思路点拨]　根据求回归方程的方法求解． 解：(1)散点图如图所示． (2)从散点图中，我们可以看出y与x的样本点分布在一条直线附近，因而求经验回归直线方程有意义． eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,11)(5＋10＋15＋…＋120)＝eq \f(510,11)， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,11)(6＋10＋10＋…＋46)＝eq \f(214,11)， eq \o(,\s\up6(11),\s\do4(i＝1))xiyi＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46＝13 910， eq \o(,\s\up6(11),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝52＋102＋152＋…＋1202＝36 750， 所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\o(,\s\up6(11),\s\do4(i＝1))xiyi－11\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(11),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－11\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(13 910－11×\f(510,11)×\f(214,11),36 750－11×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(510,11)))2) ≈0.304. eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(214,11)－0.304×eq \f(510,11)＝5.36. 故腐蚀深度与腐蚀时间之间的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.304x＋5.36. (3)根据(2)求得的回归方程，当腐蚀时间为100 s时，eq \o(y,\s\up6(^))＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s时腐蚀深度为35.76 μm. 求回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)计算eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－))，eq \o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)，eq \o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi. (4)代入公式计算eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^))，公式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).)) (5)写出回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^)). [变式训练] 2．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出线性回归方程； (3)根据线性回归方程估计销售量为9吨时的销售收入． 解：(1)在坐标系中描出点(2,7)，(3,8)，(5,9)，(6,12)，散点图如图． (2)eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋9＋12,4)＝9， eq \o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝14＋24＋45＋72＝155， eq \o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝4＋9＋25＋36＝74， ∴eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(155－144,74－64)＝1.1，eq \o(a,\s\up6(^))＝9－1.1×4＝4.6， ∴要求的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.1x＋4.6. (3)当x＝9时，eq \o(y,\s\up6(^))＝1.1×9＋4.6＝14.5. 故当销售为9吨时，估计销售收入为14.5万元． 回归直线方程的性质及应用 [例3]　(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－))) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg [思路点拨]　根据回归直线方程的性质逐一判断． 解析：ABC　[当x＝170时，eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D错误，ABC均正确．] 1．相关关系的正、负相关类同于函数的增、减性，与其斜率有关，必要时可画散点图以增强直观性． 2．由回归方程得出的函数值不一定是准确值，只是个估计值． [变式训练] 3．(1)工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝650＋80x，下列说法中正确的个数是(　　) ①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[代入方程计算可判断①②④正确．] (2)已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图可以看出y与x线性相关，且线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq \o(a,\s\up6(^))，则eq \o(a,\s\up6(^))等于(　　) A．3.25　　 B．2.6　　　 C．2.2　　 D．0 解析：B　[∵点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))在回归直线上， 计算得eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.2＋4.3＋4.8＋6.7,4)＝4.5， ∴4.5＝0.95×2＋eq \o(a,\s\up6(^))，∴eq \o(a,\s\up6(^))＝2.6.] [当堂达标] 1．下面变量之间是相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 解析：C　[C是相关关系，A，B，D是函数关系．] 2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是(　　) A.eq \o(y,\s\up6(^))＝－10x＋200　　　　　　 B.eq \o(y,\s\up6(^))＝10x＋200 C.eq \o(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D.eq \o(y,\s\up6(^))＝10x－200 解析：A　[因为y与x负相关，所以排除B，D，又因为C项中，x>0时，y<0不合题意，所以C错．] 3．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表，根据下表可得回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中的eq \o(b,\s\up6(^))＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时，销售额约为________万元. 广告费用x(万元) 4 3 2 5 销售额y(万元) 49 26 39 58 A.112.1万元　　　　　 B．113.1万元 C．111.9万元 D．113.9万元 解析：把样本点的中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，43))代入回归方程得eq \o(a,\s\up6(^))＝5.9，所以广告费用为10万元时，估计销售额约为10.6×10＋5.9＝111.9(万元)． 答案：C 4．某人对一地区人均工资x(千元)与该地区人均消费y(千元)进行统计调查，发现y与x有相关关系，并得到线性回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝0.66x＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，则估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．(精确到0.1%) 解析：当y＝7.675时，x≈9.262， 所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为eq \f(7.675,9.262)×100%≈82.9%. 答案：82.9% 5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生 产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图． (2)由对照数据，计算得：eq \o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝86， eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5， 已知eq \o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝66.5， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为 eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7. eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)． $$