4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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D(X)＝(1－4)2×eq \f(1,7)＋(2－4)2×eq \f(1,7)＋(3－4)2×eq \f(1,7)＋(4－4)2×eq \f(1,7)＋(5－4)2×eq \f(1,7)＋(6－4)2×eq \f(1,7)＋(7－4)2×eq \f(1,7) ＝(32＋22＋12＋0＋12＋22＋32)×eq \f(1,7)＝4. σ(X)＝eq \r(DX)＝2. 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [变式训练] 1．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝X＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 解：(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,2) eq \f(1,20) eq \f(1,10) eq \f(3,20) eq \f(1,5) ∴E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×eq \f(1,2)＋(1－1.5)2×eq \f(1,20)＋(2－1.5)2×eq \f(1,10)＋(3－1.5)2×eq \f(3,20)＋(4－1.5)2×eq \f(1,5)＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11， 即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))，即为所求． 两点分布、二项分布的方差 [例2] 某运动员投篮命中率p＝0.6， (1)求投篮一次时命中次数X的均值与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值与方差． [思路点拨]　根据两点分布和二项分布的方差公式直接计算 解：(1)投篮一次命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 此为两点分布，其中p＝0.6. ∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.6×0.4＝0.24. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)． ∴E(Y)＝np＝5×0.6＝3， D(Y)＝np(1－p)＝5×0.6×0.4＝1.2. 1．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)． 2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． [变式训练] 2．(1)设一随机试验的结果只有A和eq \x\to(A)，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m　　　　　　　　 B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 解析：D　[随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1－m m ∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m. ∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．] (2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝eq \f(2,3)，则p＝________. 解析：∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)， 由3p(1－p)＝eq \f(2,3)，得p＝eq \f(1,3)或p＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(1,3)或eq \f(2,3) 离散型随机变量方差的应用 [例3]　膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2. 表1　玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2　软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ [思路点拨]　在解决此类问题时，首先应列出分布列，使条件明朗化，然后计算数学期望进行比较，若期望相等，还需计算方差，看谁的稳定性强，一般地，方差越小，其稳定性越强． 解：玻璃底片测量结果的均值与方差为： E(X)＝13.4×0.05＋13.5×0.15＋13.6×0.60＋13.7×0.15＋13.8×0.05＝13.6， D(X)＝(13.4－13.6)2×0.05＋(13.5－13.6)2×0.15＋(13.6－13.6)2×0.60＋(13.7－13.6)2×0.15＋(13.8－13.6)2×0.05＝0.07. 软片底片测量结果的均值和方差为： E(Y)＝13.3×0.05＋13.4×0.05＋13.5×0.15＋13.6×0.50＋13.7×0.15＋13.8×0.05＋13.9×0.05＝13.6， D(Y)＝(13.3－13.6)2×0.05＋(13.4－13.6)2×0.05＋(13.5－13.6)2×0.15＋(13.6－13.6)2×0.50＋(13.7－13.6)2×0.15＋(13.8－13.6)2×0.05＋(13.9－13.6)2×0.05＝0.016. ∵玻璃底片E(X)＝软片底片E(Y)，软片底片D(Y)<玻璃底片D(X)，∴软片底片测量的结果比较好． 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． 2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． 3．下结论．依据方差的几何意义做出结论． [变式训练] 3．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲： 分数X 80 90 100 概率P 0.2 0.6 0.2 乙： 分数Y 80 90 100 概率P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平． 解：甲同学成绩的均值与方差为： E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40. 乙同学成绩的均值与方差为： E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. ∴甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大． 分布列、均值、方差综合题 [例4]　从4名男生和2名女生中任选3人观看第十四届国际泳联世界锦标赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值与方差； (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率． [思路点拨]　根据概率定义求出分布列，然后利用分布列与均值、方差等的关系求解． 解：(1)X可能的取值为0,1,2. P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,2)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2. ∴X分布列 X 0 1 2 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) (2)由(1)，X的均值与方差为： E(X)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1， D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,5)＋(1－1)2×eq \f(3,5)＋(2－1)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5). (3)由(1)“所求3人中女生人数X≤1”的概率为 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(4,5). 1．均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析． 2．理解和处理数据，获得和解释结论，形成通过数据认识事物的思维品质，提升数据分析的数学核心素养． [变式训练] 4．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解：(1)依据题意0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1， 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合(1)中ξ，η的分布列可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96. D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好． [当堂达标] 1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：B　[∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．] 2．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 则D(X)等于(　　) A.eq \f(29,12)　　　B.eq \f(121,144)　　　C.eq \f(179,144)　　　D.eq \f(17,12) 解析：C　[E(X)＝1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝eq \f(29,12)， D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(179,144).] 3．一批产品中，次品率为eq \f(1,3)，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________． 解析：由题意知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，所以D(X)＝4×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(8,9). 答案：eq \f(8,9) 4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,3)，k＝3,6,9.则D(X)等于________． 解析：E(X)＝3×eq \f(1,3)＋6×eq \f(1,3)＋9×eq \f(1,3)＝6， D(X)＝(3－6)2×eq \f(1,3)＋(6－6)2×eq \f(1,3)＋(9－6)2×eq \f(1,3)＝6. 答案：6 5．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是独立的，并且概率是eq \f(1,3). (1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差； (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差． 解：(1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))， ∴E(X)＝6×eq \f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,3). (2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200. $$