4.1.2 第1课时 乘法公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 　 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 　 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 课程标准 素养解读 1.掌握乘法公式及其推广 2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率 1.通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养 2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养 [情境引入] 小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个． 问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？ [知识梳理] [知识点一]　乘法公式及其推广　 (1)乘法公式：P(AB)＝　P(A)P(B|A)　，其中P(A)>0. (2)乘法公式的推广： ①推广到3个事件 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)>0， P(A1A2)>0， 则P(A1A2A3)＝　P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)　. 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率． ②推广到n个事件 若Ai(i＝1,2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)． [知识点二]　条件概率公式与乘法公式之间的关系　 条件概率公式经过变形即可得到概率的乘法公式，两个公式是完全等价的，既可以通过积事件的概率求条件概率，也可以通过条件概率求积事件的概率． 若事件Ai(i＝1,2，…，n)相互独立，则上面乘法公式的推广(2)就变为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)． 乘法公式与条件概率公式是什么关系？ 提示：乘法公式是条件概率公式的变形式． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(AB)＝P(BA)．(　　) (2)P(AB)＝P(A)P(B)．(　　) (3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)>0，P(A2A1)>0，P(A1A2A3)>0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，则P(AB)等于(　　) A.eq \f(5,6)　　　 B.eq \f(9,10)　　　 C.eq \f(2,15)　　　 D.eq \f(1,15) 解析：C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，故选C.] 3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A.eq \f(1,10)　　　 B.eq \f(2,10)　　　 C.eq \f(8,10)　　　 D.eq \f(9,10) 解析：A　[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝eq \f(9,10)，P(B|A)＝eq \f(1,9)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,10).] 4．若P(B|A)＝eq \f(1,3)，则P(eq \x\to(B)|A)＝________. 解析：P(eq \x\to(B)|A)＝1－P(B|A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 乘法公式及其应用 [例1]　一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率． [思路点拨]　P(AB)＝P(A)P(B|A)，分别求P(A)和P(B|A)． 解：设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝eq \f(3,10)，P(A2|A1)＝eq \f(2,9)， 于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＝eq \f(1,15). 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [变式训练] 1．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 乘法公式的推广应用 [例2]设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为eq \f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为eq \f(7,10)，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为eq \f(9,10).试求透镜落下三次而未打破的概率． [思路点拨]　求三个事件同时发生的概率 解：以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3，故有 P(B)＝P(eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3)＝P(eq \x\to(A)1)P(eq \x\to(A)2|eq \x\to(A)1) P(eq \x\to(A)3|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq \f(3,200). 该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解． [变式训练] 2．在某次空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，则进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中，甲、乙被击落的概率． 解：设A＝{乙机被击落}，B＝{甲机被击落}，A1＝{乙机第一回合被击落}，A2＝{乙机第二回合被击落}，由题意知A1，A2互斥，且A＝A1∪A2， 依题意，有P(A1)＝0.2，P(B|eq \x\to(A)1)＝0.3， P(A2|eq \x\to(A)1eq \x\to(B))＝0.4， 由乘法公式可得P(B)＝P(eq \x\to(A)1B)＝ P(eq \x\to(A)1)P(B|eq \x\to(A)1)＝0.8×0.3＝0.24， 从而P(A2)＝P(eq \x\to(A)1eq \x\to(B)A2)＝P(eq \x\to(A)1)P(eq \x\to(B)|eq \x\to(A)1)P(A2|eq \x\to(A)1eq \x\to(B))＝0.8×0.7×0.4＝0.224， 由概率的加法公式可得P(A)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.424. 即这几个回合中，甲、乙被击落的概率分别为0.24、0.424. 乘法公式的综合应用 [例3]　已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品，但采购员不知有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品，求采购员拒绝购买这批产品的概率． [思路点拨]　本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解． 解：设Ai＝{被抽查的第i件产品是废品，i＝1,2,3,4,5.} 设A＝{采购员拒绝购买}，则A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，从而eq \x\to(A)＝eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3eq \x\to(A)4eq \x\to(A)5， 由题意，得 P(eq \x\to(A)1)＝eq \f(95,100)，P(eq \x\to(A)2|eq \x\to(A)1)＝eq \f(94,99)，P(eq \x\to(A)3|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2)＝eq \f(93,98)，P(eq \x\to(A)4|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3)＝eq \f(92,97)，P(eq \x\to(A)5|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3eq \x\to(A)4)＝eq \f(91,96). ∴P(eq \x\to(A))＝P(eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3eq \x\to(A)4eq \x\to(A)5)＝P(eq \x\to(A)5|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3eq \x\to(A)4)P(eq \x\to(A)4|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3)P(eq \x\to(A)3|eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2)P(eq \x\to(A)2|eq \x\to(A)1)P(eq \x\to(A)1)＝eq \f(95×94×93×92×91,100×99×98×97×96)≈0.7696. 故P(A)＝1－P(eq \x\to(A))≈0.2304. 分别计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． [变式训练] 3．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A1,3个球标有字母B1；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行；先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A1的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B1的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解：设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A1的球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B1的球”， R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(3,10)，P(R|A)＝eq \f(1,2)，P(R|B)＝eq \f(4,5). 事件“试验成功”为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(7,10)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,10)＝0.59. [当堂达标] 1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(1,5)，则P(A∩B)等于(　　) A.eq \f(5,6)　　　B.eq \f(9,10)　　　C.eq \f(2,15)　　　D.eq \f(1,15) 解析：D　[由乘法公式得P(A∩B)＝P(B|A)P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,15)，故选D.] 2．若P(A|B)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\to(A))＝eq \f(2,3)，则事件A与B的关系是(　　) A事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又相互独立 解析：C　[∵P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)＝P(A|B)， ∴事件A与B相互独立．故选C.] 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________． 解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72. 答案：0.72 4．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________． 解：设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”． 因为P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝96%，P(B|A)＝75%， 且事件B发生时事件A一定发生， 所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ eq \f(96,100)×eq \f(75,100)＝0.72. 5．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．(　　) 解：设事件A表示取出的产品是一等品，事件B表示取出的产品是合格品，则P(A|B)＝45%，P(eq \x\to(B))＝4%， 于是P(B)＝1－P(eq \x\to(B))＝96%， 所以P(A)＝P(A∩B)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43.2%. $$