4.1.1 条件概率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 　 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 　 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 4．1　条件概率与事件的独立性 4．1.1　条件概率 课程标准 素养解读 1.在具体情境中，了解条件概率 2．掌握条件概率的计算方法 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养 2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养 [情境引入] 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？ [知识梳理] [知识点一]　条件概率　 定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件　B　发生的条件下事件　A　发生的概率，称为在B的条件下事件A发生的概率 表示 P(A|B) 计算 公式 P(A|B)＝　eq \f(PA∩B,PB)　 1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？ 提示：不同．P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同． 2．古典概型中的条件概率还可以怎样计算？ 提示：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA.) [知识点二]　条件概率的性质　 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝　1　； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝　P(B|A)＋P(C|A) ．　 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(B|A)≠P(A∩B)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,3)，则P(B|A)＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　B.eq \f(2,9)　　　C.eq \f(1,9)　　　D.eq \f(4,9) 解析：A　[由P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq \f(1,2)，故选A.] 3．(教材P43例3改编)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 解析：根据条件概率公式知P＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5. 答案：0.5 利用定义求条件概率 [例1]　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A)． [思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解． 解：由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝eq \f(2,5)， P(B)＝eq \f(2×1＋3×2,5×4)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)， P(A∩B)＝eq \f(2×1,5×4)＝eq \f(1,10). (2)P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4). 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA). 2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，提示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系． [变式训练] 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　) A.eq \f(1,2)　　　 B.eq \f(1,4)　　　 C.eq \f(1,6)　　　 D.eq \f(1,9) 解析：A　[由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P(A)＝eq \f(1,2)，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2).] 利用基本事件个数求条件概率 [例2] 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq \o\al(2,6)＝30， 根据分步计数原理n(A)＝Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3). (2)因为n(A∩B)＝Aeq \o\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq \f(nA∩B,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5). (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5). 法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5). 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的． [变式训练] 2．一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)． 解：将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3). 条件概率的综合应用 [例3]　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． [思路点拨]　(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对； (2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解． 解：设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(eq \o(A,\s\up6(－))1A2)表示不超过2次按对密码． (1)因为事件A1与事件eq \o(A,\s\up6(－))1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(Aeq \o(A,\s\up6(－))1A2)＝eq \f(1,10)＋eq \f(9×1,10×9)＝eq \f(1,5). (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq \o(A,\s\up6(－))1A2)|B)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4×1,5×4)＝eq \f(2,5). 1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． [变式训练] 3．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C. 则P(A)＝eq \f(1,10)，P(AB)＝eq \f(1×2,10×9)＝eq \f(1,45)，P(AC)＝eq \f(1×3,10×9)＝eq \f(1,30). 所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,45)÷eq \f(1,10)＝eq \f(2,9)，P(C|A)＝eq \f(PAC,PA)＝eq \f(1,30)÷eq \f(1,10)＝eq \f(1,3). 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(2,9)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,9).所以所求的条件概率为eq \f(5,9). [当堂达标] 1．设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(A|B)＝(　　) A.eq \f(1,4)　　　 B.eq \f(1,3)　　　 C.eq \f(3,4)　　　 D.eq \f(4,3) 解析：C　[由P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,3))＝eq \f(3,4).] 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是(　　) A.eq \f(1,5)　　　 B.eq \f(3,10)　　　 C.eq \f(1,2)　　　 D.eq \f(1,3) 解析：A　[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.03,0.15)＝eq \f(1,5)，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为eq \f(1,5).] 3．某产品长度合格的概率为eq \f(93,100)，质量合格的概率为eq \f(90,100)，长度、质量都合格的概率为eq \f(85,100)，任取一件产品，已知其质量合格，则它的长度也合格的概率为________． 解析：　[令A：产品的长度合格，B：产品的质量合格，A∩B：产品的长度、质量都合格，则P(A)＝eq \f(93,100)，P(B)＝eq \f(90,100)，P(A∩B)＝eq \f(85,100). 任取一件产品，已知其质量合格，它的长度也合格，即为A|B，其概率P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)＝eq \f(85,90)＝eq \f(17,18).] 答案：eq \f(17,18) 4．分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是________． 解：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7. n(AB)＝4，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(4,7). 答案：eq \f(4,7) 5．考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)． 解析：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}， B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}， 于是得(1)P(B)＝eq \f(3,4)，P(BA)＝P(A)＝eq \f(1,4)， 所以P(A|B)＝eq \f(PBA,PB)＝eq \f(1,3)； (2)P(B1)＝eq \f(1,2)，P(B1A)＝P(A)＝eq \f(1,4)， 所以P(A|B1)＝eq \f(PB1A,PB1)＝eq \f(1,2). $$