3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　组合应用题的解法　 1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答． 2．有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类． [预习自测] 1．判断正误 (1)Ceq \o\al(1,m)＋Ceq \o\al(2,m)＝Ceq \o\al(3,m＋1)(m≥2且m∈N＋)．( × ) (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,6)种．( × ) (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本，共有Ceq \o\al(2,4)种不同分法．( √ ) 2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　) A．25种　 B．35种　　 C．820种　 D．840种 解析：A　[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能参加，有Ceq \o\al(3,5)种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有Ceq \o\al(3,5)种选法；两人都不参加，有Ceq \o\al(4,5)种选法，所以共有2Ceq \o\al(3,5)＋Ceq \o\al(4,5)＝25(种)不同的选派方案．] 3．从5名学生中选3人参加会议，共有选法____________种． 解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有Ceq \o\al(3,5)＝10种． 答案：10 有限制条件的组合问题 [例1] 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ [思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有” “至少” 等字眼，使用两个计数原理解决． 解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有Ceq \o\al(2,34)＝561(种)．∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有Ceq \o\al(3,34)种 或者Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(2,34)＝Ceq \o\al(3,34)＝5 984种． ∴不同的选法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＝2 100种． ∴不同的选法有2 100种． (4)选取2名女生有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)种，选取3名女生有Ceq \o\al(3,15)种，共有选取方法N＝Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＋Ceq \o\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的选法有2 555种． (5)选取3名的总数有Ceq \o\al(3,35)，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(3,15)＝6 545－455＝6 090种． ∴不同的选法有6 090种． 求解有限制条件的组合问题的方法 (1)“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少” 与 “至多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解此类问题，当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理． [变式训练] 1．有4名男生，5名女生： (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 解：(1)选2名男生，有Ceq \o\al(2,4)种选法；选3名女生，且包括某女生，有Ceq \o\al(2,4)种选法． 所以符合条件的不同选法有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(2,4)＝36种． (2)方法一(直接法)：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(3,5)种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(2,5)种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有Ceq \o\al(4,4)·Ceq \o\al(1,5)种； 所以男生不少于2名的不同选法有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(3,5)＋Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(4,4)·Ceq \o\al(1,5)＝105种． 方法二(排除法)：因为从9名学生中，选5名代表的选法共有Ceq \o\al(5,9)种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有Ceq \o\al(5,9)－Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(4,5)－Ceq \o\al(5,5)＝105种． 故共有105种不同的选法． (3)先安排甲组有Ceq \o\al(3,9)种分法，再安排乙组有Ceq \o\al(3,6)种分法，余下的学生为丙组有Ceq \o\al(3,3)种分法． 所以符合条件的不同分法有Ceq \o\al(3,9)·Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(3,3)＝1 680种． 故共有1 680种不同分法． 分组，分配问题 [例2] 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本， 一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． [思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”． 解：(1)根据分步乘法计数原理得到：Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝90种． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有Aeq \o\al(3,3)种方法．根据分步乘法计数原理可得：Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝xAeq \o\al(3,3)，所以x＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)55Ceq \o\al(3,3)＝60种方法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝360种方法． (5)可以分为三类情况：①“2、2、2”即(1)中的分配情况，有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝360种方法； ③“1,1,4型”有Ceq \o\al(4,6)Aeq \o\al(3,3)＝90方法． 所以一共有90＋360＋90＝540种方法． 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题． 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． [变式训练] 2．(多选题)把四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有(　　)． A．Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,1)Ceq \o\al(1,3)种　　　 B．Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)种 C．Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(2,2)种 D．18种 解析：BC　[根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球： 方法一：先将四个不同的小球分成3组，有Ceq \o\al(2,4)种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有Aeq \o\al(3,3)种放法，则不允许有空盒子的放法有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)＝36种． 方法二：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(2,4)种情况；将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有Aeq \o\al(2,2)种放法，则不允许有空盒子的放法有Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(2,2)＝36种．故选BC.] 与几何有关的组合应用题 [例3] 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ [思路点拨]　根据几何图形寻找规律，防止重复和遗漏． 解：(1)法一：可作出三角形Ceq \o\al(3,6)＋Ceq \o\al(1,6)·Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,6)·Ceq \o\al(1,4)＝116(个)． 法二：可作出三角形Ceq \o\al(3,10)－Ceq \o\al(3,4)＝116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有Ceq \o\al(2,9)＝36(个)． (2)可作出四边形Ceq \o\al(4,6)＋Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(1,6)＋Ceq \o\al(2,6)·Ceq \o\al(2,6)＝360(个)． (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决． [变式训练] 3．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 解：法一：(直接法)，共线的4点记为A，B，C，D. (1)第一类：A，B，C，D确定1条直线； 第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定Ceq \o\al(2,5)条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,5)条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线1＋Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,5)＝1＋10＋20＝31(条)． (2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,5)个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,5)个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得Ceq \o\al(3,5)个三角形． 共有Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(3,5)＝80(个)三角形． (3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得Ceq \o\al(4,5)＋Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(2,4)＝105(个)四边形． 法二：(间接法)： (1)可确定直线Ceq \o\al(2,9)－Ceq \o\al(2,4)＋1＝31(条)． (2)可确定三角形Ceq \o\al(3,9)－Ceq \o\al(3,4)＝80(个)． (3)可确定四边形Ceq \o\al(4,9)－Ceq \o\al(4,4)－Ceq \o\al(3,4)Ceq \o\al(1,5)＝105(个)． 排列、组合综合问题 [例4] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． [思路点拨]　“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑． 解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，有Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(4,5)Ceq \o\al(1,3)种取法，后排有Aeq \o\al(5,5)种，故共有(Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(4,5)Ceq \o\al(1,5))·Aeq \o\al(5,5)＝5 400种． (2)除去该女生后，先取后排，有Ceq \o\al(4,7)·Aeq \o\al(4,4)＝840种． (3)先取后排，但先安排该男生，有Ceq \o\al(4,7)·Ceq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(4,4)＝ 3 360种． (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有Ceq \o\al(3,6)种，再安排该男生有Ceq \o\al(1,3)种，其余3个全排有Aeq \o\al(3,3)种，共Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(1,3)·Aeq \o\al(3,3)＝360种． 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 (1)按事情发生的过程进行分步； (2)按元素的性质进行分类，解决时通常从三个途径考虑； ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． [变式训练] 4．中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查，甲、乙等6名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，1名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有(　　) A．1 240种　　　　　　　 B．1 320种 C．1 248种 D．1 224种 解析：B　[先安排除甲、乙以外的4名志愿者，再安排甲、乙2人，共有四种情况：①除甲、乙以外的4名志愿者去不同的社区，有Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(2,4)＝288种安排方法；②除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区，剩余2人去不同的社区，甲、乙2人中1人去剩余的1个社区，1人去其余志愿者所去的3个社区中的一个，有Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝864种安排方法；③除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区，剩余2人也去同一个社区，甲、乙2人去剩余的2个社区，有eq \f(C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))Aeq \o\al(4,4)＝72种安排方法；④除甲、乙以外的4名志愿者中3人去同一个社区，另外1人和甲、乙去剩余的3个社区，有Ceq \o\al(3,4)Aeq \o\al(4,4)＝90种安排方法．故不同的安排方法共有288＋864＋72＋96＝1 320(种)．] [当堂达标] 1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120种 B．84种 C．52种 D．48种 解析：C　[间接法：Ceq \o\al(3,8)－Ceq \o\al(3,4)＝52种．] 2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　) A．Aeq \o\al(4,5)种 B．45种 C．54种 D．Ceq \o\al(4,5)种 解析：D　[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张从5个代表中选4个即可满足，故有Ceq \o\al(4,5)种．] 3．在8张奖券有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况有________种．(用数学作答) 解析：一、二、三等奖，三个人获得，有Aeq \o\al(3,4)＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有Ceq \o\al(2,3)Aeq \o\al(2,4)＝36(种)， 共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况． 答案：60 4．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形． 解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为Ceq \o\al(3,7)－3＝32. 答案：32 5．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件． (1)共有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ 解：(1)有Ceq \o\al(3,12)＝220(种)抽法． (2)分两步：先从2件次品中抽出1件有Ceq \o\al(1,2)种方法；再从10件正品中抽出2件有Ceq \o\al(2,10)种方法． 所以共有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(2,10)＝90(种)抽法． (3)法一：(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(2,10)＋Ceq \o\al(2,2)Ceq \o\al(1,10)＝100(种)抽法． 法二：(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有Ceq \o\al(3,12)种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有Ceq \o\al(3,10)种方法，所以共有Ceq \o\al(3,12)－Ceq \o\al(3,10)＝100(种)抽法． $$