3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 数学·选择性必修第二册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 第2课时　基本计数原理的应用 课程标准 素养解读 1.熟练应用两个计数原理 2．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题 1.借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养 2．通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养 [情境引入] 十三届全国人大三次会议在京召开，某政协委员5月19日从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组，假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车组有4个班次． 问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ 问题2：如果该委员需要在5月19日先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，问：此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？ [知识梳理] [知识点一]　两个计数原理的区别与联系　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 [知识点二]　两个计数原理的应用　 解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明， 先后有序，还需特别注意以下两点： (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． (2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想． [预习自测] 1．判断正误 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数学给教室里的座位编号，总共能编出26＋10＝36种不同的号码．(　　) (3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事．(　　) 提示：(1)× .在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法． (2)√. 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码． (3)√. 在分类加法计数原理中的每一种办法都是独立的，可单独完成这件事． 2．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担任学生会主席，共有________种不同选法． A．100　　 B．102　　　 C．152　　 D．50 解析：C　[这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．] 3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 解析：B　[完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法．] 4．用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的偶数． 解析：用1,2,3这三个数字能写出1个一位偶数，2； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数，12,32； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数，132,312. 所以用1,2,3这三个数字共能写出5个没有重复数字的偶数． 答案：5 组数问题 [例1] 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2 000大的四位偶数？ [思路点拨]　(1)用分步乘法计数原理求解(1)问； (2)0 不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解； (3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解． 解：(1)分步解决． 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步；选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)． (2)分步解决． 第一步：首位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3＝300(个)． (3)法一：按末位是0,2,4分为三类： 第一类：末位是0的有4×4×3＝48个； 第二类：末位是2的有3×4×3＝36个； 第三类：末位是4的有3×4×3＝36个． 则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)． 法二：按千位是2,3,4,5分四类： 第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)； 第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)； 第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)； 第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)． 则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)． 法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)； 第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)． 共有60＋96＝156(个)． 其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)． 对于组数问题，应掌握以下原则： (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位或两位以上的数的最高位． [变式训练] 1．(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24　　 B．18　　　 C．12　　 D．6 解析：B　[由于三位数是奇数，分两类：奇偶奇和偶奇奇．(1)若是奇偶奇，则个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；(2)若是偶奇奇，则个位有3种选择，十位有2种选择，百位不能选0，有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．因此总共有12＋6＝18(种)情况．] (2)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的四位数中，比2019大的数的个数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：B　[当首位为3时，都满足，共有3×2×1＝6(个)；当首位为2，百位为1或3时，都满足，此时共有2×2×1＝4(个)；当首位为2，百位为0时，只有2031满足．综上，共有6＋4＋1＝11(个)．] 　选(抽)取与分配问题 [例2] 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 [思路点拨]　由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解． 解析：C　[法一：(直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类： 第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9种； 第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27种． 综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)． 法二：(间接法) 先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [变式训练] 2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 解析：法一：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 根据分步乘法计数原理得： 共有方法数N＝5×4×3＝60(种)． 法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5, 分成以下10类： 第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)； 第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)； 第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)； 分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法． 根据分类加法计数原理得，共有方法数 N＝6＋6＋…＋6＝60(种)． 涂色(种植)问题 [例3] 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． [思路点拨]　分不相邻的地块种植作物可能相同也可能不同讨论． 解析：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. ①若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法． ②若第三块田放a： a b a 第四块有b或c两种方法， (ⅰ)若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法； (ⅱ)若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c，共1种方法． 综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法． [例4] 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 [思路点拨]　注意小方格中第2个和第3个所涂颜色可能相同，也可能不同，故应分两类：所涂颜色相同和不同，分别求解． 解：第1个小方格可以从5种颜色中任何一种颜色涂上，有5种不同的涂法． ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法． ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法． 由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法． 解决涂色(种植)问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． [变式训练] 3．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则共有________种不同的栽种方法． 解析：分两大类． 第一大类，6,5,1,2四部分栽种4种不同颜色的花，共分两步． 第1步，在6,5,1,2四部分栽种不同颜色的花，共有4×3×2×1＝24(种)不同栽法； 第2步，栽种3,4部分，又有两类．第1类，3与6栽种的颜色相同，4与2栽种的颜色相同，有1种栽法；第2类，3与5栽种的颜色相同，4与2或6栽种的颜色相同，有2种栽法，共有1＋2＝3(种)栽法． 由分步乘法计数原理，第一大类共有24×3＝72(种)不同的栽种方法． 第二大类，在6,5,1,2四部分中，2与5栽种的颜色相同，可分三步． 第1步，栽种6,5,1部分，可从4种颜色的花中选3种进行栽种，有4×3×2＝24(种)栽法； 第2步，栽种第2部分，与5相同，有1种栽法； 第3步，栽种3,4部分，又有两类．第1类，3与6相同，4栽种剩余的第4种颜色的花，有1种栽法；第2类，3栽种剩余第4种颜色的花，4与6栽种相同颜色的花，有1种栽法，共有2种栽法． 由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2＝48(种)不同的栽种方法．故共有72＋48＝120(种)不同的栽种方法． 答案：120 [当堂达标] 1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有(　　) A．48种　 B．24种　　 C．14种　 D．12种 解析：A　[从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．] 2．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数字的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．648 解析：B　[0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．] 3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种． 解析：A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法． 答案：108 4．5名班委员进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________． 解析：根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得出共有1×3×6＝18种分工方案． 答案：18 5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？ 解：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)． $$