4.6 函数的应用(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A．上午10：00　　　　　　 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 答案：C 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 答案：D 3．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每次过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 答案：BC 4．某工厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底总产值在原有基础上翻两番，则总生产值的年平均增长率为(　　) A．5－1 B．4－1 C．5－1 D．4－1 答案：B 5．(多选)有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型较不适合的有(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 答案：ABD 6.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 解析：ABD　[图像过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t， ∵＝＝1， ∴每月的增长率为1，A正确． 当t＝5时， y＝25＝32>30，∴B正确． ∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确． ∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26， ∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选A、B、D.] 7．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到　________　只． 答案：200 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了　________　km. 答案：9 9．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg. (1)y与x的关系式为　____________　； (2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过　________　小时．(精确到0.1) (参考数据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1) 解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x. (2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 答案：(1)y＝2 500×0.8x　(2)7.2 10．某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中 ①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同 ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同 ③一定存在某一段路程EF(不含A、B)，两天在此段内的平均速度相同． (以上速度不考虑方向) 正确说法的序号是　________　. 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地的路程，则是一个不减的函数，设函数l(t)表示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都是[0,6]，值域相同．同一坐标系画出s(t)、l(t)的图像，必有一个交点，即两天中在此刻经过此点(如图1)，故①正确； ②画出两天的速度(自变量为时间t)函数图像并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一个总在另一个下方．在交点处时刻，他们的速度相等(如图2)，故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t) 上一点作平行于t，s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，(对角线就是割线，斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线都能成功，图3 显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模型为(这里假定时间t∈(0,6)，AB之间距离为4)， s(t)＝，l(t)＝.在这个图像上经计算，找不到这样的矩形，故③错误． ∴正确的说法是①②. 答案：①② 11．我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足 (其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)．当t＝时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图像求b，k的值． (2)当关税的税率t＝时，求市场供应量P不低于1 024时，市场价格至少为多少？ (2)由(1)可得P(x)＝2(1－6t)(x－5)2， 设m＝(1－6t)(x－5)2， 当t＝时，m＝(x－5)2， 因为市场供应量P不低于1 024. 所以2m≥1 024，解得m≥10， 所以(x－5)2≥10，解得x≥10 故市场供应量P不低于1 024时，市场价格至少为10. 12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由． 解析：(1)将x＝8 100代入函数关系式，得y＝log381＝×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2m/s. (2)令y＝0，得log3＝0，即＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位． (3)鲑鱼A的耗氧较大，理由如下： 由yA＞yB，得log3＞log3，即log3xA＞log3xB，则xA＞xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大． 13．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值． 解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)． (3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25| ＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上单调递减，在[10,25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$