4.6 函数的应用(二)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

(2)设o<x<x,则x-x<0,所以f(x)-f(x)= 探究二 [例2][解]因为ylog-log.士. △r r.一 即f(x) f(x。),所以f(x)在(0,十oo)上是增函数 log.2-log 1-log.2; 所以y=log。x在区间[1,2]上的平均变化率为 16 2-1 最大正整数为2,所以m-2-f(c)--1.以下同 r 3-2 选①. '.函数y-logx在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数。 选③:由f-1)>-15得(-1)”-16 -15.(-1)“ 1.当n是整数时,n是偶数,其中最小的正整数是2,故 跟踪训练 2.解 因为y3-3 一,所以画数y-3在区间[1,2]上 【随堂巩固促应用】 △r.一 1.A 设(x)-r”,则2-2.i.a-./(c)-, f(log.16)-f(4)-4-2 2.D 在直线x一1的左侧,寡函数的指数越大越接近于 3-1, .y-在x-1的左侧且位于 可以看出,当自变量每增加1个单位时,区间左端点值 y轴 一 越大,函数值增加越快. y一工 左侧,故经过;在直线x一1的右侧,暴函数的 探究三 [例3] 指数越小越接近于x轴.',y-r在x一l的右剑且位 [解](1)C对应的函数为g(r)一x,C.对应的 于y一x上方和y一1的下方,故经过①. 画数为f(x)一2. 由奇偶性的定义知y-x*为偶函数,y--王 3.②④ (2)f(1)>g(1).f(2) g(2).f(9)>g(9).f(10) 既不是奇函数也不是偶函数,由暴函数的单调性知y一 g(10). r在(0,十oo)上单调递减,易知②④满足题意. .1 r<2.9<<10.x<6x2017x 4.0 由n-m+1-1,得m-0或n=1,再把m=0和 从图象上可以看出,当x.<r工。时,f(x)<g(x). './(6)g(6): m=1分判代入n+2n-3 0检验,得m-0 当xx.时,f(x)>g(x)...f(2017)>g(2017). 4.5 增长速度的比较 又g(2017)>g(6). .f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6) 【自丰学习探新知】 知识点一 跟踪训练 f(x。)一f(x。) 3.解(1)C对应的函数为g(x)-0.3x-1. 1. C.对应的函数为/(x)-lgx. 1一 2.函数值 自变量 (2)当xr.时,g(x)f(x): 3.快慢 当x<xx。时,f(x)>g(x); 4.斜率 当x>x.时,g(x)>f(x): 微思考 当x=x。或r=x.时,f(x)一g(x). [提示] 由于对数函数在x1后的增长速度小于指数 【随堂巩固促应用】 函数的增长速度,所以△y<△y. 知识点二 △r 增函数 增函数 增函数 快于 快于a>x>logt 2.B △y=f(x+△x)-f(x)-f(2+0.1)-f(2) 微判断 (2.1)+1-(2+1)-0.41. (1)V (③)× (2) 3.r'>log x.a1,n>0,函数y=a,y=”. 【互动探究解疑难】 y.-logx都是增函数,由指数函数、对数函数、寡函数 探究一 的变化规律可知,当工足够大时,a>r”>logx. 4.y-}当x变大时,x比lnx增长要快,.x^}比xlnx [例1][解]因为一 =r.十x,所以y一r在 △r -X 增长要快. 区间1,2上的乎均变化率为3,在区间2,3 上的平均 4.6 函数的应用(二) 变化率为5,不难看出,当自变量大于零时,自变量每增 加1个单位,区间的左端点值越大,函数值增加越快。 【互动探究解疑难】 跟踪训练 探究一 f(x.+△c)一f(x.) -2r。+△r,= [例1] [解] (1)1小时后驾驶员血液中的酒精含量为 1. D , △r (x)/(x。-△x)-2.xo-Ax,因为△r可正可负且 0.3×(1-50%)mg/ml. 2小时后驾驶员血液中的酒精含量为 △x 0.3×(1-50%)(1-50%)mgmL. 不为零,所以,。的大小关系不确定。 即0.3×(1-50%)mgmL. 12 工小时后其血液中的酒精含量为 即3alg I.-2alg I.-algI. 0.3×(1-50%)mgml. 得3lg 1.-2lg 1.-lg1I. 所以 y-0.3(1-50%)-0.3(). ' lg -lgf-lgI. .8言 I1 11,则11. (2)由题意可知.3x()<,即(# . 30--13a十解得 采用估算法, (2)由题意, a-10. 40--12a+b, -1时.()-1 6-160. '*D-10lgI+160,由100<D<120$ 2时.()- 得100$10l$I+160$120,解得10*<1<10. 4 3 时()# 故IE(10,10)时,人会暂时性失聪。 探究三 -4时.()-11 [例3] [解](1)符合条件的是f(z)=ax+b. 理由如下: 由于y-()是减西数,所以满足要求的x的最小值 若模型为f(x)-logx十a; 则f(x)是减函数,与已知不符 为4,故至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆 若模型为/(x)-2十a. 跟踪训练 则由f(1)-2+a-4,得a-2, 1.解(1)由半衰期的定义可知,每年古生物中该元素的 即f(x)-2 +2,此时f2)-6,f(3)-10,f4)-1 18 存量是上一年该元素存量的()”,所以,该元素的存 与已知数据相差太大,不符合; 则近似符合的模型为f(x)-ax十b. a十b-4, 解得-2.5. 量y与时间x(年)的关系式为y-a·()”,x→0. 由已知得 (a-1.5. 13a+b-7, (2)由a()”-。得()--# 所以f(x)-1.5x+2.5,xN. (2)2020年的预计年产量为f(7)-1.5×7十2.5 所以2001o-一 13(万件),所以13×(1一30%)-9.1(万件),即预测 ## 2020年的年产量为9.1万件. lg2 跟踪练 所以-4200(1-21g 2)~5 600. 3.解 (1).y-a}+1(k>0,a1)增长的逸度越来越 lg2 快,y=mx 十n(m0)增长的速度越来越慢, 因此,该古生物距今大约5600年. .选择模型①更合适,则可得 28-+1. 探究二 41.5-a+1. [例2][解](1)当总质比为410时,v-2000ln410. 解得a-.b-8..y-8(3)+1.xN. 由参考数据得v~2000×6-12000m/s. '当总质比为410时,A型火箭的最大速度约为 (2)当x一0时,y一9,即最初发现小龙虾时总量为9吨 12000m/s. 则当y-9x9=81时,81-8()+1..()'=10. (2)由题意,经过材料更新和技术改进后, A型火箭的喷流相对速度为3000ms.总质比变 则-log:10-1 1。 lg3-lg2 0.477 1-0.3010 要使火箭的最大速度至少增加1000m/s. ~6.所以经过6个月小龙虾的总量是最初发现的9倍。 则需3000ln 【随堂巩固促应用)】 1 .M1. 1.A 由温度冷却模型函数,可得(一一 .1n 50-20 化简,得3ln M-2n 。) -51n3-5(3ln 2-ln3)~5分钟. 2.C 由题意可知一至五年的利率均为4.75%,此人贷款 100万元,五年后一次还清,则五年后应还100万元本 由参考数据知e~2.718. 金和五年内产生的利息,即100(1十4.75%)万元,故 选C. ..125×e~339.8. ·材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340. 跟踪训练 取自然对数,得-5k-ln1--ln3.,所以 -ln3 2.解 (1)当声音强度D,D,D.满足3D.-2D。= 1.099~0.22. ) D.时, 有3(alg I.+b)-2(alg I.+b)-alg I.+b 5 13 4$.B 对于A,y-logx,当x-1时,y=0;当x-2时, &.r十12,解得x<1. y-1,与表格数据相差比较大,故A错误;对于B, 3.D 从题设中提供的图象可以看出0<a<1,logc0. y-2,当x-1时,y-2;当x-2时,y-4;当x=3时, log(1+c)<0,故得0<c<1,0<a<1,故选D. y-8;当x-4时,y-16,与表格数据比较接近,故B正 考点三 确;对于C,y=x,当x-1时,y-l;当x-2时,y=4; [例3] [解析](1)对于A,,.y=log x在(0,十o)上 当x-3时,y-9:当x-4时,y-16,与表格数据相差比 单调递减..'.log-4>log-6,A错误; 较大,故C错误;对于D,y-2x,当x-1时,y-2;当 对于B,,'y-x在[o,+)上单调递增, r-2时,y-4;当x-3时,y-6;当x-4时,y-8,与表 .()}(),B正确; 格数据相差比较大,故D错误。 对于C.y一()在R上单调遂减, 章末优化提升 ()()”,(错误; 【考点聚焦】 考点一 对于D,log 2<log,3-1-log 2<log 3.D正确. (2)①由题意,函数f(x)-log(3十2x). [例1][解](1)原式-3×3-1+(2×3×2)-3* -1+2×3-14. g(x)-log(3-2x)(a>0且a1). [3+2x0. 使函数f(x)一g(x)有意义,必须有 3-2>0. #得-一#}## log2*-ln2+2+4-ln2-- #3),定义# 跟踪训练 所以函数f(x)一g(x)的定义域是( 1.解 (1)原式=9a*b-.a·ab=9a-l-9a 关于原点对称, (2)原式-log3x(2log.5-log.5)-(lg4+lg 250) 所以f(-x)-g(-x)-log(3-2x)-log(3+2) 1 --[log(3+2x)-log(3-2x)]--[f(x)-g(x)]. 考点二 所以函数f(x)一g(x)是奇函数。 [例2][解析](1)因为a→1,0<<1,y-()是 ②由f(x)一g(r)0. 可得log(3+2x)>log(3-2x). 减函数,y一logx是增函数,只有D满足。 [3+2x3-2r. 当a1时,可得{3-2x>0. (2)根据题意,作出f(x)的图象,如下图所示: 3+2>0. 解得x的取值范围是(o,); [3+2r<3-2x. 当0<a<1时,有3-2x>0. 3+2r>0. y=log(x-l) 解得心的取值范用是(-,0). ___& /(2.0) 综上所述,当a>1时,x的取值范围是(o,); 当0<a<1时,x的取值范围是(-,0). 数形结合可知,f(x)<0的解集为(一,一2)U(1,2). [答案](1)BD(2)见解析 故/(r-1)<0的解集为(-,-1)U(2,3). 跟踪训练 [答案](1)D(2)A 4.Da=log6-1+log2,b-log12-1+log2,c= 跟踪训练 log 18-1+log 2,1log3log 6<log9.*log2 (20. 1 2.C 作出函数f(x)一 log6>log,2- log..a>c. 的图象如图, log.3log,2- 1 11-0 5.解 (1)易知^-1>0,则 -1或x1. 所以定义域为(一,-1]U[1,十). (2)由(1)知,函数的定义域关于原点对称, 由/(-x)-2--2-/(x) 从而知f(x)为偶函数, (3)由条件得2 →4-2,整理得x-1>4. 解得/5或一5. 显然函数f(x)在R上单调递减,.f(x十1) f(2x). 所以不等式的解集为(:|5或一5. 14第四章指数函数，对数函数与幂函数 川规律方法川 (2)比较两函数的增长差异，（以两图象交点 (1)不同函数在同一区问上平均变化率的大小可 为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较) 以反映面数变化的大致规律。 (2)若一个函数单调增加且增知的速度越来越 大，则其反面数也单调增加，但增加的速度越来戴小， 口跟踪训练 3.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x一1的图象如 图所示。 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C,C 分别对应的函数： : 随堂巩固促应用 验证发情迁移运用 1.函数y=x2+1在[1,1+△x]上的平均变化：3.如果a>1,n>0,那么当x足够大时，a,x", 率是 ( logx的大小关系是 A.2 B.2.x 6 4.函数y=x2与函数y=xnx在区间(1，十o∞) C.2+△x D.2+(△x)2 上增长较快的一个函数是 2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,△x= 0.1时，△y的值为 ( 提示请完成《素能提升训练》训练十一 A.0.40B.0.41 C.0.43 D.0.44 4.6 函数的应用（二） [学习任务] 1.掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用. 2.能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一指数型函数模型 为酒驾，大于0.08mgmL的为辞驾.某驾驶 [例1门酒驾醉驾处罚标准：醉驾根据《刑法》 员喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到 第一百三十三条规定，处拘役，一到六个月. 0.3mg‘mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含 饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车 量以每小时50%的速度减少.以y(单位： 驾驶证，记12分并处一千元以上二千元以下 mg/mL)表示该驾驶员在停止喝酒x小时后 罚款.根据血液酒精含量定性，大于（等于） 血液中的酒精含量. 0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的 (1)将y表示为x的函数： 29 高中数学·必修第二册(RJB) (2)为了保障交通安全，该驾驶员停止喝酒后探究二对数型函数模型 至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时） [例2](2022·包头高一期末)近年来，我国 在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先 进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻 力和地球引力的理想状态下，可以用公式 0=lnM计算火箭的最大速度vms,其中 m/s是喷流相对速度，kg是火箭（除推 进剂外)的质量，Mkg是推进剂与火箭质量 的总和，M称为“总质比”，已知A型火箭的 喷流相对速度为2000m/s。 川规律方法川 在实际何题中，有关人口增长，银行复利，细胞分 (1)当总质比为410时，利用给出的参考数据 裂等增长率问恩常可以用指数型酒数模型表示，通常 求A型火箭的最大速度： 可以表示为y=N(1十p)(其中N为基础数，p为增 (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的 长率，x为时间)的形式 喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质 口跟踪训练 比变为原来的，若要使火箭的最大速度至 1.考古学家再次对四川广汉“三星堆古幕”进行 考古发掘，科学家通过古生物中某种放射性 少增加1000mfs,求在材料更新和技术改进 元索的存量来估算古生物的年代.已知某放 前总质比的最小整数值. 射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过 (参考数据：ln410≈6，e≈2.718》 4200年，该元素的存量为原来的一半)，古生 物中该元素的初始存量为α（参考数据：lg2 ≈0.3). (1)写出该元素的存量y与时间x(年)的 关系： (2)经检测，古生物中该元素现在的存量为 积，请推算古生物距今大约多少年。 川规律方法 (1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关 系，关纯是正确建模，充分注意数学模型中元素的实 际意义， (2)对数型函数模型的一教表达式为「(x) mlog.r十(m,n,a为常数，a>0,a≠1). 口跟踪训练 2.(2022·深圳高一期末)噪声污染已经成为影 响人们身体健康和生活质量的严重问题.实 践证明，声音强度D(分贝)由公式D=algI +b(a,b为非零常数)给出，其中I(W/cm2) 为声音能量。 30 第四章指数函数，对数函数与幂函数 (1)当声音强度D,D2,D3满足3D,一2D= 规律方法川 D3时，求对应的声音能量I,I2,I3满足的等 建立拟合函数与预测的基本步骤 量关系式： 根据原始数据、表格，绘山散点图 (2)当人们低声说话，声音能量为10W/cm 时，声音强度为30分贝：当人们正常说话，声 画线 道过戏察散点图，世出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线成拟合曲线 音能量为102W/cm时，声音强度为40分 根据所学承数知识，求出拟合直线或拟合曲线的 贝.已知声音能量大于60分贝属于噪音，且 函数 函数解新式 一般人在大于100分贝小于120分贝的空间 利用函数解析式，根据条件对所给倒题提山利愿 预测和2制，为决策和管理提供依据 内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什 么范围时，人会暂时性失聪？ 跟踪训练 3.每年的6月份是吃小龙虾最适宜的季节，小 龙虾在中国深受国人喜爱，在欧洲却泛滥成 灾，据悉，2020年在欧洲发现一批小龙虾，经 过3个月其总量达到了28吨，经过4个月其 总量达到了41.5吨.现在要研究小龙虾的总 量y(单位：吨)与经过时间x(x∈N)个月之 探究三函数模型的选择问题 间的关系，有两个模型可供选择：①y=ka十 [例3]某企业常年生产一种出口产品，根据 1(k>0,a>1):②y=m.x+n(m>0). 调查可知，进入21世纪以来，该产品的产量 (1)试判断选择哪种模型更合适，并求出相应 平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中， 的函数解析式： 第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如： (2)求出发现小龙虾时的总量，并求出经过几个 下表所示： 月小龙虾的总量是最初发现的9倍？（结果取 1 2 3 整数，参考数据：1g2≈0.3010，lg3≈0.4771) f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x) =ax+b,f(x)=2+a,f(r)=logix+a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理 由，然后求出相应的函数关系式：（所求a或b 的值保留1位小数) (2)受某些因素影响，预测2020年的年产量 比预计减少30%，试根据所选择的函数模 型，确定2020年的年产量. 31 高中数学·必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模：3.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来 型：1=一 n一民1为时间，单位为分钟， 的温度是a,℃，空气的温度是0，℃，经过t 1na- 分钟后物体的温度0℃可由公式0=0。十 a,为环境温度，9，为物体初始温度，0为冷却 (0,一0)e“求得.其中k是一个随着物体与 后温度)，假设一杯开水温度0，=100℃，环 空气的接触状况而定的大于0的常数.现有 境温度0，=20℃，常数k=0.2,大约经过多 100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，5分 少分钟水温降为50℃？（参考数据：ln2≈ 钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（参 0.7,1n3≈1.1) ( 考数据：ln3≈1.099) () A.5 B.6 A.0.22 B.0.27 C.7 D.8 C.0.36 D.0.55 2.根据2020年央行商业贷款基准利率的有关 4.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下 规定：一年以下（含一年）年利率为4.35%， 表所示： 至三年（含三年）年利率为4.75%，三至五年 时间（天） 1 2 3 4 (含五年)年利率也为4.75%，五年以上年利率 利润（千元 2 3.988.0115.99 为4.9%.某人向银行贷款100万元，按年复利的 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是 话，五年后一次性还清，则需要还款 下列函数中的 ( A.100+100×5×4.75%万元 A.y=logz.r B.y=2 B.100+100×5×4.9%万元 C.y=x2 D.y=2x C.100×(1+4.75%)万元 D.100×(1+4.9%)5万元 提示，请完成《素能提升训练》训练十二 章末优化提升 一网络构建 根式与有现数指数幂 指数 无理数指数岳与实数指数幂 指数与指 运算祛则 数函数 定义 指数函数 图像与性质 本初等函数 电为反面数 定义 对数函致 图像与性质 应州 对数与对 数雨数 定义 对数 运算然则 定义 幂的数 图像与性质 32