6.2.3 第2课时 平面向量的数乘运算及向量平行的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　平面向量的数乘运算及向量平行的坐标表示 课程标准 素养解读 1.通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线 通过学习平面向量及运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养 [情境引入] 1．向量(共线)平行的用途是什么？ 提示　利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题． 2．当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？ 提示　当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标．比如A，B，P三点共线且||＝3||，如果知道点A，B的坐标就可以求出点P的坐标．事实上，由||＝3||且A，B，P三点共线，可知＝3或＝－3，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P的坐标． [知识梳理] [知识点一]　实数与向量的积的坐标表示　 设λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，λa＝　(λx1，λy1)　.即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． [知识点二]　平面向量平行的坐标表示　 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，可知x1i＋y1j＝λ(x2i＋y2j)＝λx2i＋λy2j.于是 消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 这就是说，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是　x1y2－x2y1＝0　. 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 提示：通过坐标求出b＝λ a中的λ，λ>0，同向；λ<0，反向． [预习自测] 1．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(　　) A．(－2，－1)　　　　　 B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1) 解析：A　[∵a∥b，∴2×(－2)－1×x＝0. ∴x＝－4，则b＝(－4，－2)， a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．] 2．下列各组的两个向量，共线的是(　　) A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14) C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4) 答案：D 3．若O(0,0)，B(－1,3)，且＝3，则点A的坐标为(　　) A．(3,9) B．(－3,9) C．(－3,3) D．(3，－3) 答案：B 4．已知a＝(x－2,2)，b＝(3,2x)，且a∥b，则x的值为　________　. 答案：3或－1 5．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，求y的值． 解：＝(－8,8)，＝(3，y＋6)． ∵A、B、C三点共线，∴∥. ∴－8(y＋6)－3×8＝0.∴y＝－9. 向量共线的判定 [例1] 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ [思路点拨]　利用向量共线的坐标表示进行判断． [解]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0， ∴，共线． 又＝－2， ∴，方向相反． 综上，与共线且方向相反． (1)利用向量共线定理(几何)或向量共线坐标的条件(代数)进行两向量是否共线的判断． (2)利用b＝λ a中λ的正负判断a，b同向还是反向． [变式训练] 1．已知a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则b－c与a共线吗？ 解：∵b－c＝(3,3)， ∴a＝(6,6)＝2(3,3)＝2(b－c)． ∴b－c与a共线． 利用向量共线求参数的值 [例2] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路点拨]　先求出两向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示列出k的方程，再求k的值，也可以利用共线向量定理求解． [解]　方法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2) ＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵(ka＋b)∥(a－3b)， ∴－4(k－3)－10(2k＋2)＝0.∴k＝－. 当k＝－时， ka＋b＝(k－3,2k＋2)＝＝－(10，－4)． ∴ka＋b与a－3b反向． 方法二：同方法一得ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4) 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， ∴解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时 ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， ∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向． 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λ b(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [变式训练] 2．向量＝(4,3)，＝(12，k)，＝(k,10)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解：＝－＝(8，k－3)， ＝－＝(k－4,7)． ∵A，B，C三点共线，∴与共线． ∴8×7－(k－3)(k－4)＝0，即k2－7k－44＝0. 解得k＝－4或k＝11. 　　　　由共线向量的坐标表示证明点共线、 线平行问题 [例3] 如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线． [思路点拨]　A，B，C三点共线时确定m的值，则一定有＝λ成立．所以可利用向量相等，列方程组求解m即可．也可以先求出、的坐标，再利用共线向量坐标表示列出m的方程求m. [解]　方法一：A、B、C三点共线，即、共线． ∴存在实数λ，使得＝λ. 即i－2j＝λ(i＋mj)． 于是，∴m＝－2. 即m＝－2时，A、B、C三点共线． 方法二：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)． 则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． 而、共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2.∴当m＝－2时，A、B、C三点共线． (1)三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． (2)直线的平行问题也是转化为向量共线． [变式训练] 3．已知A、B、C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝，求证：∥. 证明：设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)． ∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)． ∴点E的坐标为. 同理点F的坐标为. ∴＝. 又×(－1)－4×＝0，∴∥. 1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　) A．2　　B．－2　　　C．3　　　D．－3 解析：D　[因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.] 2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：C　[由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)， a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)， ∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－.] 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为　________　. 解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 所以 所以 所以m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 4．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为　________　. 解析：＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)． ＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)． ∵A，B，C三点共线，即向量，共线， ∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6. 答案：6 5．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． (1)若＝，求点D的坐标； (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解：(1)设D(x，y)， 由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， 所以解得 所以点D的坐标为(5，－6)． (2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)， b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 由ka－b与a＋3b平行， 得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0. 所以k＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$