5.1.2 第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

5.1.2　数据的数字特征 第1课时　最值、平均数、中位数、百分位数、众数 课程标准 素养解读 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数) 2.理解集中趋势参数的统计含义 在学习和应用平均数、中位数和众数的过程中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和数据分析素养 [情境引入] 　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年) 甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12， 问题　三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 提示　三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年． [知识梳理] [知识点一]　　 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数　最极端　的情况．一般地，最大值用　max　表示，最小值用　min　表示． [知识点二]　众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在　中间　位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么这n个数的平均数＝　　 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 1.一组数据的众数可以是一个或几个也可以没有，那么中位数是否也具有相同的结论？ 提示：中位数在一组数据中一定存在且是唯一的． 2．如何通过频率分布直方图确定众数、中位数、平均数？ 提示：(1)众数是最高矩形底边的中点． (2)中位数左边和右边的直方图面积相等，由此来估计中位数的值． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． [知识点三]　百分位数　 1．第p百分位数的定义 笫50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有　p%　的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按　从小到大　排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的　平均数　. 3．四分位数 25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数． 3.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ 提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． 4．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分． [预习自测] 1．某题的得分情况如下： 得分(分) 0 1 2 3 4 百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2 其中众数是(　　) A．37.0%　　　　　　　 B．20.2% C．0分 D．4分 解析：C　[众数出现的频率最大，故选C.] 2．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为(　　) A．4.55 B．4.5 C．12.5 D．1.64 解析：A　[由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.] 3．下列数据的中位数和众数分别是(　　) 79,84,84,86,84,87,93 A．84,84 B．84,86 C．85,84 D．86,84 解析：A　[把数据由小到大排列得79,84,84,84,86,87,93，可知众数和中位数都是84.] 4．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为　________　，第86百分位数为　________　. 解析：∵75%×20＝15，∴第75百分位数为＝14.5.∵86%×20＝17.2，∴第86百分位数为第18个数据17. 答案：14.5　17 　　众数、中位数、平均数意义的应用 1．中位数利用了中间数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值． 2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息． 3．在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数． 4．实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位． [例1]　高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分． (1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01分)； (2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？ (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因． [思路点拨]　根据平均数和中位数的定义解决． [解析]　(1)利用平均数计算公式得＝×(82×27＋80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学成绩的中位数是75分， ∴至少有14人得分不超过75分． 又∵女同学成绩的中位数是80分， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴估计全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成绩中两极分化现象严重，分数高的和低的相差较大． 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数的大小与一组数据中的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变动． [变式训练] 1．贵阳地铁1号线于2017年12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为(　　) A．170　　　　　 B．165 C．160 D．150 解析：D　[把数据从小到大排列为：10,30,30,40,40,50,60,60,60,70，则这组数据的众数为60，中位数为(40＋50)＝45，平均数为(10＋30＋30＋40＋40＋50＋60＋60＋60＋70)＝45，故三者之和为60＋45＋45＝150.] 　　利用众数、中位数、平均数估计总体 [例2]　据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． [思路点拨]　先根据众数、中位数、平均数的概念进行求解，然后根据众数、中位数、平均数反映的数字特征来进行讨论． [解]　(1)平均数是：＝4 000＋ ≈4 000＋1 333＝5 333(元)． 中位数是4 000元，众数是4 000元． (2)平均数是′＝4 000＋ ≈4 000＋2 212＝6 212(元)， 中位数是4 000元，众数是4 000元． (3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 众数、中位数、平均数的意义 (1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均教的影响也越大． (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势． [变式训练] 2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？ 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？ 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 解：(1)甲群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)， 中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． (2)乙群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)， 中位数为5.5岁，众数为6岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差． 百分位数的计算 [例3]　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. (1)分别求出这组数据的第25,50,95百分位数； (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量； (3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准． [思路点拨]　直观来说，一组数的第p百分位数指的是将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数． [解]　(1)将所有数据从小到大排列，得 7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3,12×50%＝6,12×95%＝11.4， 则第25百分位数是＝8.15， 第50百分位数是＝8.5， 第95百分位数是第12个数据为9.9. (2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9. (3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品． 计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤： (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)算i：计算i＝n×p%； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． [变式训练] 3．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　) A．－2　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 解析：D　[由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.] 百分位数的综合应用 [例4]　某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． [思路点拨]　频率分布直方图中第p百分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路： (1)确定第p百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)． [解]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200<x≤400时， y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ (2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. (3)设75%分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为 (0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 用电量低于400千瓦时的占80%， 所以75%分位数m在[300,400)内， 所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时． 由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率． (2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可． [变式训练] 4．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． (1)求x； (2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)； (3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想． 解：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05， 所以x＝＝100. (2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32. (3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列： 88,90,92,92,95,96,96.97,98,99， 计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，这10人成绩的平均数为 (88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3. 评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高． 感想：略(结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可). 1．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于(　　) A．21　　B．22　　　C．20　　　D．23 解析：A　[根据题意知，中位数22＝，则x＝21.] 2．下列关于50%分位数的说法正确的是(　　) A．50%分位数不是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C．它是四分位数 D．它适用于总体是离散型的数据 解析：C　[由百分位数的意义可知选项A，B，D错误．] 3．已知一组数据为10,20,30,40,40,40,50,60,70，其中平均数、中位数、众数的大小关系为(　　) A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．中位数＝众数＝平均数 解析：D　[中位数、众数、平均数均为40.] 4．某学生几次数学测试成绩为53,60,63,71,74,75,80，则该学生这几次数学测试的平均成绩为　________　. 解析：所求的平均成绩为×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68. 答案：68 5．求下列数据的四分位数． 13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20， 解：把12个数据按从小到大的顺序排列可得： 12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31， 计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9， 所以数据的第25百分位数为＝16.5， 第50百分位数为＝21， 第75百分位数为＝27.5 学科网（北京）股份有限公司 $$