6.2.3 第2课时 平面向量的数乘运算及向量平行的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 第2课时　平面向量的数乘运算及向量平行的坐标表示 课程标准 素养解读 1.通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线 通过学习平面向量及运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养 提示　当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标．比如A，B，P三点共线且|eq \o(AP,\s\up6(→))|＝3|eq \o(PB,\s\up6(→))|，如果知道点A，B的坐标就可以求出点P的坐标．事实上，由|eq \o(AP,\s\up6(→))|＝3|eq \o(PB,\s\up6(→))|且A，B，P三点共线，可知eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))或eq \o(AP,\s\up6(→))＝－3eq \o(PB,\s\up6(→))，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P的坐标． [情境引入] 1．向量(共线)平行的用途是什么？ 提示　利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题． 2．当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？ [知识梳理] [知识点一]　实数与向量的积的坐标表示　 设λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，λa＝　(λx1，λy1)　.即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． [知识点二]　平面向量平行的坐标表示　 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，可知x1i＋y1j＝λ(x2i＋y2j)＝λx2i＋λy2j.于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2.))消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 这就是说，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是　x1y2－x2y1＝0　. 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 提示：通过坐标求出b＝λ a中的λ，λ>0，同向；λ<0，反向． [预习自测] 1．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(　　) A．(－2，－1)　　　　　 B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1) 解析：A　[∵a∥b，∴2×(－2)－1×x＝0. ∴x＝－4，则b＝(－4，－2)， a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．] 2．下列各组的两个向量，共线的是(　　) A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14) C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4) 答案：D 3．若O(0,0)，B(－1,3)，且eq \o(OA,\s\up6(→))＝3eq \o(OB,\s\up6(→))，则点A的坐标为(　　) A．(3,9) B．(－3,9) C．(－3,3) D．(3，－3) 答案：B 4．已知a＝(x－2,2)，b＝(3,2x)，且a∥b，则x的值为　________　. 答案：3或－1 5．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，求y的值． 解：eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－8,8)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(3，y＋6)． ∵A、B、C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(AC,\s\up6(→)). ∴－8(y＋6)－3×8＝0.∴y＝－9. [解]　eq \o(AB,\s\up6(→))＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， eq \o(CD,\s\up6(→))＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))共线． 又eq \o(CD,\s\up6(→))＝－2eq \o(AB,\s\up6(→))，∴eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))方向相反． 综上，eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))共线且方向相反． 向量共线的判定 [例1] 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ [思路点拨]　利用向量共线的坐标表示进行判断． (1)利用向量共线定理(几何)或向量共线坐标的条件(代数)进行两向量是否共线的判断． (2)利用b＝λ a中λ的正负判断a，b同向还是反向． [变式训练] 1．已知a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则b－c与a共线吗？ 解：∵b－c＝(3,3)， ∴a＝(6,6)＝2(3,3)＝2(b－c)． ∴b－c与a共线． 利用向量共线求参数的值 [例2] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路点拨]　先求出两向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示列出k的方程，再求k的值，也可以利用共线向量定理求解． [解]　方法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2) ＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵(ka＋b)∥(a－3b)， ∴－4(k－3)－10(2k＋2)＝0.∴k＝－eq \f(1,3). 当k＝－eq \f(1,3)时， ka＋b＝(k－3,2k＋2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))＝－eq \f(1,3)(10，－4)． ∴ka＋b与a－3b反向． 方法二：同方法一得ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4) 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ.))解得k＝λ＝－eq \f(1,3). 当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时 ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)， ∵λ＝－eq \f(1,3)<0，∴ka＋b与a－3b反向． 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λ b(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [变式训练] 2．向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(12，k)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(k,10)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解：eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(8，k－3)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(k－4,7)． ∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))共线． ∴8×7－(k－3)(k－4)＝0，即k2－7k－44＝0. 解得k＝－4或k＝11. 　　　　由共线向量的坐标表示证明点共线、 线平行问题 [例3] 如果向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝i－2j，eq \o(BC,\s\up6(→))＝i＋mj，其中i、j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线． [思路点拨]　A，B，C三点共线时确定m的值，则一定有eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→))成立．所以可利用向量相等，列方程组求解m即可．也可以先求出eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(BC,\s\up6(→))的坐标，再利用共线向量坐标表示列出m的方程求m. [解]　方法一：A、B、C三点共线，即eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(BC,\s\up6(→))共线． ∴存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→)).即i－2j＝λ(i＋mj)． 于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λm＝－2))，∴m＝－2. 即m＝－2时，A、B、C三点共线． 方法二：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)． 则eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， eq \o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． 而eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(BC,\s\up6(→))共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2.∴当m＝－2时，A、B、C三点共线． (1)三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． (2)直线的平行问题也是转化为向量共线． [变式训练] 3．已知A、B、C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))，求证：eq \o(EF,\s\up6(→))∥eq \o(AB,\s\up6(→)). 证明：设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 依题意有，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－2,3)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)． ∵eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))，∴(x1＋1，y1)＝eq \f(1,3)(2,2)． ∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))). 同理点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)). ∴eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))). 又eq \f(8,3)×(－1)－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0，∴eq \o(EF,\s\up6(→))∥eq \o(AB,\s\up6(→)). 1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　) A．2　　B．－2　　　C．3　　　D．－3 解析：D　[因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.] 2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则eq \f(m,n)等于(　　) A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 解析：C　[由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)， a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)， ∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).] 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为　________　. 解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，)) 所以m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 4．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为　________　. 解析：eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)． eq \o(AC,\s\up6(→))＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)． ∵A，B，C三点共线，即向量eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))共线， ∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6. 答案：6 5．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． (1)若eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(CD,\s\up6(→))，求点D的坐标； (2)设向量a＝eq \o(AB,\s\up6(→))，b＝eq \o(BC,\s\up6(→))，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解：(1)设D(x，y)， 由eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(CD,\s\up6(→))，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－4＝1，,y＋1＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6.)) 所以点D的坐标为(5，－6)． (2)因为a＝eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)， b＝eq \o(BC,\s\up6(→))＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 由ka－b与a＋3b平行， 得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0. 所以k＝－eq \f(1,3). $$