5.3.5 随机事件的独立性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 说明：当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等同的． [知识点二]　互斥事件与相互独立事件的辨析　 1．互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．互斥的两个事件可以独立，独立的两个事件也可以互斥．用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB＝∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立. 2.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))或P(A)＋P(B)－P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P(eq \x\to(A) eq \x\to(B)) 1－[P(A) ＋P(B)] P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B)) A，B恰有一个发生 P(A eq \x\to(B)∪eq \x\to(A)B) P(A)＋P(B) P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B) A，B中至多有一个发生 P(eq \x\to(A) eq \x\to(B)∪A eq \x\to(B)∪eq \x\to(A)B) 1 1－P(A)P(B) 2.相互独立事件与互斥事件的关系是什么？ 提示：(1)应用相互独立事件同时发生的概率计算公式求概率的步骤：①确定各个事件是相互独立的；②确定各个事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求积． (2)应用相互独立事件同时发生的概率计算公式求解概率时，注意将事件看成若干个相互独立事件同时发生的情形，也应注意互斥事件的和事件的概率求解公式及互为对立事件的概率公式的应用．即综合运用以下三个公式：P(AB)＝P(A)P(B)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＝1－P(eq \x\to(A))． (3)当事件A与B相互独立时，P(AB)＝P(A)P(B)，因此式子1－P(A)P(B)表示相互独立事件A，B至少有一个不发生的概率，它在计算中经常用到． 对于n个随机事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(eq \x\to(A1)∩eq \x\to(A2)∩…∩eq \x\to(An))，这个公式叫作概率的和与积的互补公式． (4)在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等概率问题，若从正面考虑，则它们是诸多事件的和或积，此时可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求得原事件的概率．这是正难则反思想的具体体现． [预习自测] 1．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与eq \x\to(A2)是(　　) A．相互独立事件　　　 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 解析：A　[由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与eq \x\to(A2)是相互独立事件．] 2．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为(　　) A.eq \f(5,12) B.eq \f(5,6) C.eq \f(1,9) D.eq \f(13,18) 解析：C　[由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，从甲袋中取出红球的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，从乙袋中取出红球的概率为eq \f(1,6)，故所求事件的概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,9).] 3．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚正面朝上”为事件A，“第2枚正面朝上”为事件B，“2枚结果相同”为事件C.有下列三个命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立．以上命题中，正确的个数是(　　) A．0　 B．1　　 C．2　 　D．3 解析：D　[P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝eq \f(1,4).P(AB)＝eq \f(1,4)＝P(A)P(B)，故A，B相互独立；P(AC)＝eq \f(1,4)＝P(A)P(C)，故A，C相互独立；P(BC)＝eq \f(1,4)＝P(B)P(C)，故B，C相互独立．故选D] 4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为　________　. 解析：设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件eq \x\to(A)为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件eq \x\to(B)为“取得红球”． ∵事件A与B相互独立，∴事件eq \x\to(A)与eq \x\to(B)相互独立． ∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P(AB∪eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(AB)＋P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(A)P(B)＋P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 5．面对新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5)、eq \f(1,4)、eq \f(1,3). 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． (4)只有一个机构研制出疫苗的概率； (5)至多有一个机构研制出疫苗的概率． 解：令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C相互独立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3). (1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60). (2)他们都失败即事件eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))同时发生． 故P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－)))＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))P(eq \x\to(C)) ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) ＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5). (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5). (4)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(Aeq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))∪ eq \o(A,\s\up6(－))Beq \o(C,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))C)，故所求事件的概率为P＝P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))C∪eq \o(A,\s\up6(－))Beq \o(C,\s\up6(－))∪Aeq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))) ＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)P(eq \o(C,\s\up6(－)))＋P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(eq \o(C,\s\up6(－)))＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))P(B)(1－P(C))＋P(A)(1－P(B))(1－P(C))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) ＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,15)＋eq \f(1,10)＝eq \f(13,30). (5)至多有一机构研制出该疫苗，即事件 (eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))∪Aeq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－))Beq \o(C,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))C)发生，故所求事件的概率为 P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))∪Aeq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－))Beq \o(C,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) C) ＝P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－))Beq \o(C,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))C) ＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(eq \o(C,\s\up6(－)))＋P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(eq \o(C,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)P(eq \o(C,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(C) ＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,5)＋eq \f(1,10)＋eq \f(2,15)＋eq \f(1,5)＝eq \f(5,6). 独立性的判断 [例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息：①给出三对事件；②要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，据此判断两个事件是否相互独立． [解柝]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． (2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． (3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件． 判断两个事件是否相互独立有两种方法．(1)经验法，根据问题的实质，直观上看一个事件的发生是否影响另一个事件发生的概率，若没有影响，则这两个事件就是相互独立的，这是定性判断．(2)定义法，通过计算P(AB)，P(A)·P(B)来判断两个事件是否独立，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，这是定量判断． [变式训练] 1．下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖； (2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖； (3)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．家庭中有两个小孩讨论事件A与事件B. 解：(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件． (2)由双色球的中奖规则，知甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件． (3)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为eq \f(1,4). 这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2). 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立． 求相互独立事件的概率 [例2]　本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． [思路点拨]　先分别求出甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率．(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．(2)费用之和为4元的情况可分为甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元． [解]　甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4). (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．租车费用都为0元的概率为p1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，租车费用都为2元的概率为p2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，租车费用都为4元的概率为p3＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).所以甲、乙所付租车费用相同的概率p＝p1＋p2＋p3＝eq \f(5,16). (2)设“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元”为事件A，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元． 所以P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,16). 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为eq \f(5,16). (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步骤：①判定各事件是否相互独立；②求每个事件发生的概率；③求相互独立事件同时发生的概率． (2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有—个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义，以免混淆． [变式训练] 2．在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是eq \f(3,4)，甲、乙两人都回答错误的概率是eq \f(1,12)，乙、丙两人都回答正确的概率是eq \f(1,4).设每人回答问题正确与否相互独立． (1)求乙答对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率． 解析：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件．由题意可知，P(A)＝eq \f(3,4)，P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))＝(1－eq \f(3,4))×(1－x)＝eq \f(1,12)，解得x＝eq \f(2,3)，所以乙答对这道题的概率为P(B)＝eq \f(2,3). (2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y，由题可知，P(BC)＝P(B)·P(C)＝eq \f(2,3)×y＝eq \f(1,4)，解得y＝eq \f(3,8).甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P(eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C))＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))·P(eq \x\to(C))＝(1－eq \f(3,4))×(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(3,8))＝eq \f(5,96).因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对”，所以P(M)＝1－eq \f(5,96)＝eq \f(91,96). 　　　相互独立事件和互斥事件的综合应用 [例3]　甲、乙2名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人中至少有1人射中目标的概率； (4)2人中至多有1人射中目标的概率． [思路点拨]　解决含有“至多”“至少”等词语的概率问题时，可利用对立事件． [解]　记“甲射击1次，射中目标”为事件A，“乙射击1次，射中目标”为事件B，则A与B，eq \x\to(A)与B，A与eq \x\to(B)，eq \x\to(A)与eq \x\to(B)都为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72， 所以2人都射中目标的概率是0.72. (2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A eq \x\to(B)发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件eq \x\to(A)B发生)． 根据题意，得事件A eq \x\to(B)与eq \x\to(A)B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得所求的概率为P(A eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)＝P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. 所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)(方法一)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“只有1人射中”两种情况，故所求的概率P＝P(AB)＋[P(A eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (方法二)“2人中至少有1人射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B))＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，所以“2人中至少有1人射中目标”的概率p＝1－P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝1－0.02＝0.98. (4)(方法一)“2人中至多有1人射中目标”包括“只有1人射中”和“2人都未射中”，故所求的概率P＝P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＋P(A eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))＋P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. (方法二)“2人中至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求的概率P＝1－P(AB)＝1－P(A)·P(B)＝1－0.72＝0.28. 计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几步：(1)分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和，分别用字母表示出来；(2)根据相互独立事件的概率公式计算概率；(3)根据互斥事件的概率加法 [变式训练] 3．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3).若对这三名短路运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 解：设甲、乙、丙三人100 m跑合格分别为事件A、B、C，显然A、B、C相互独立，ABC表示三人都合格，eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C)表示三人都不合格，则P(A)＝eq \f(2,5).P(B)＝eq \f(3,4).P(C)＝eq \f(1,3).P(eq \x\to(A))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，P(eq \x\to(B))＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).P(eq \x\to(C))＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3). 设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率为： P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10). 三人都不合格的概率为： P0＝P(eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C))＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))P(eq \x\to(C))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,10). 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为eq \f(1,10). (2)∵AB eq \x\to(C)，A eq \x\to(B)C，eq \x\to(A)BC两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为： P2＝P(AB eq \x\to(C)＋A eq \x\to(B)C＋eq \x\to(A)BC)＝P(AB eq \x\to(C))＋P(A eq \x\to(B)C)＋P(eq \x\to(A)BC)＝P(A)P(B)P(eq \x\to(C))＋P(A)P(eq \x\to(B))P(C)＋P(eq \x\to(A))P(B)P(C) ＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60). 恰有一人合格的概率为： P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq \f(1,10)－eq \f(23,60)－eq \f(1,10)＝eq \f(5,12). 结合(1)可知P0、P1、P2、P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大． 1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　) A．互斥事件　　　　　 B．相互独立事件 C．对立事件 D．以上都不对 解析：D　[根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知．] 2．甲、乙两人投球命中率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为(　　) A.eq \f(1,2)　　B.eq \f(2,5)　　　C.eq \f(3,5)　　　D.eq \f(5,6) 解析：A　[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B， “甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C， 则C＝Aeq \x\to(B)＋eq \x\to(A)B且Aeq \x\to(B)与eq \x\to(A)B互斥 P(C)＝P(Aeq \x\to(B)＋eq \x\to(A)B)＝P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).] 3．有一道数学难题，学生A解出的概率为eq \f(1,2)，学生B解出的概率为eq \f(1,3)，学生C解出的概率为eq \f(1,4).若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为(　　) A．1　　B.eq \f(1,4)　　　C.eq \f(11,24)　　　D.eq \f(17,24) 解析：C　[一道数学难题，恰有一人解出，包括： ①A解出，B，C解不出，概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)； ②B解出，A，C解不出，概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,8)； ③C解出，A，B解不出，概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12). 所以恰有1人解出的概率为eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,12)＝eq \f(11,24).] 4．在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是　________　. 解析：“有人感冒”这一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒． 设事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒． 则有人感冒这一事件的概率为 P(eq \x\to(A)B＋Aeq \x\to(B)＋AB)＝P(eq \x\to(A)B)＋P(Aeq \x\to(B))＋P(AB) ＝P(eq \x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq \x\to(B))＋P(A)P(B) ＝P(eq \x\to(A))P(B)＋P(A) ＝0.4×0.5＋0.6＝0.8. 答案：0.8 5．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人射中目标的概率都是0.8，计算： (1)两人都射中目标的概率； (2)其中恰有一人射中目标的概率； (3)至少有一人射中目标的概率． 解：记“甲射击一次，射中目标”为事件A，“乙射击一次，射中目标”为事件B. (1)显然，“两人各射击一次，都射中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.8＝0.64. (2)“两人各射击一次，恰有一人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中乙未射中(即Aeq \x\to(B))．另一种是甲未射中乙射中(即eq \x\to(A)B)， 根据题意，这两种情况在两人各射击一次时不可能同时发生， 即事件Aeq \x\to(B)与eq \x\to(A)B是互斥的，所以所求概率为 P＝P(Aeq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)＝P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B) ＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8 ＝0.16＋0.16＝0.32， (3)方法一　“两人各射击一次，至少有一人射中目标”的概率为 P＝P(AB)＋[P(Aeq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)]＝0.64＋0.32＝0.96， 方法二　“两人都未射中目标”的概率是 P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))＝(1－0.8)×(1－0.8)＝0.04. ∴至少有一人射中目标的概率为 1－P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝1－0.04＝0.96. $$