5.1.1 第2课时 分层抽样-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了抽取的样本更合理、更具有代表性，所以将总体分成互不交叉的层，而后独立地抽取一定数量的个体． [知识点二]　分层抽样的适用条件 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持　样本结构　与　总体结构　的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由　差异明显　的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 2.某县为了解中小学生平时零花钱问题，为了节省人力、物力、财力，只在位于县城的几所中小学按小学、初中、高中在校人数分层抽取了一部分学生了解情况，你认为这样科学吗？说明理由． 提示：这种抽样不科学．因为影响学生零花钱的不只有学生的年龄，同时城镇学生和农村学生零花钱也会有区别．所以这样分层不合理． [预习自测] 1．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　____________　名学生(　　) A．10　B．15　　C．20　　D．25 答案：B 2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样法　　 B．抽签法 C．随机数法 D．分层抽样法 解析：D　[男生500人中抽取25人，女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，用的是分层抽样法．] 3．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为(　　) A．27　　B．36　　　C．54　　　D．81 解析：B　[样本容量＝eq \f(27＋54＋81×18,81)＝36.] 4．某校高一、高二、高三分别有学生1 600名，1 200名，800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为　________　. 解析：设高一、高二共抽取的学生数为n，由题意得eq \f(n,1 600＋1 200)＝eq \f(20,800)， 得n＝70. 答案：70 5．一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本，应如何抽取？ 解析：采用分层抽样可按一、二、三级品的个数之比5∶3∶2，从一级品中抽取10个，从二级品中抽取6个，从三级品中抽取4个．抽取时，将一级品中100个产品按00,01,02，…，99编号；将二级品中的60个产品按00,01,02，…，59编号，将三级品中的40个产品按00,01,02，…，39编号，用随机数表法分别抽取10个，6个，4个产品，这样取得一个容量为20的样本. 对分层随机抽样概念的理解 [例1]　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　) A．抽签法　　　　 B．随机数法 C．简单随机抽样 D．分层随机抽样 (2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取的个体数量相同 [思路点拨]　由于总体是由差异明显的几部分组成的，所以，应采用分层抽样法抽取． [解析]　(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样． (2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． [答案]　(1)D　(2)C 1．使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小． 2．使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比． [变式训练] 1．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本？ (1)从20台彩电中抽取4台进行质量检验； (2)光远中学有180名教职工，其中教师136名，管理人员20名，后勤服务人员24名，为征求某项意见，现从中抽取一个容量为15的样本． 解析：(1)所述问题中总体中的个体数和样本容量均较少，故宜用简单随机抽样法；(2)所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个阶层，因此适宜用分层抽样法． 答案：(1)简单随机抽样；(2)分层抽样． 分层抽样的应用 [例2]　某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程． [思路点拨]　由题目可以获取以下主要信息： ①某城市的百货商店包括差异明显的大、中、小型商店三种； ②总体容量为210； ③样本容量为21. 解答本题应按分层抽样的步骤抽取，首先算出抽样比例，然后求出各层抽样的样本数，最后在各层抽取得到样本． [解析]　(1)样本容量与总体的个体数的比为eq \f(21,210)＝eq \f(1,10)； (2)确定各种商店要抽取的数目； 大型：20×eq \f(1,20)＝2(家)，中型：40×eq \f(1,10)＝4(家)， 小型：150×eq \f(1,10)＝15(家)； (3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家； 这样便得到了所要抽取的样本． 1．使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 2．使用分层抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． 3．分层抽样的步骤 [变式训练] 2．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法． 具体过程如下： 第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层． 第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60. 第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本． 第四步，将300人合到一起，即得到一个样本． 分层随机抽样中的计算问题 [例3]　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A．101 B．808 C．1212 D．2012 (2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取　________　个个体． (3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为　________　. [思路点拨]　样本容量比上总体容量等于抽样比例，用抽样比例乘以各层的样本容量等于在每层抽取的个体数． [解析]　(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以抽取驾驶员的抽样比为eq \f(12,96)＝eq \f(1,8)， 所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq \f(1,8)＝808. (2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又由总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×eq \f(2,10)＝20(个)个体．(3)eq \o(ω,\s\up6(－))＝eq \f(20,20＋30)×3＋eq \f(30,20＋30)×8＝6. [答案]　(1)B　(2)20　(3)6 (1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 ①eq \f(样本量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． (2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： eq \o(ω,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n) eq \o(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n) eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N) eq \o(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N) eq \o(y,\s\up6(－)). [变式训练] 3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　) A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人 解析：B　[先求抽样比eq \f(n,N)＝eq \f(90,3 600＋5 400＋1 800)＝eq \f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×eq \f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5 400×eq \f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1 800×eq \f(1,120)＝15(人)，故选B.] 1．从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是eq \f(1,3)，则选取分层抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是(　　) A.eq \f(1,5)　　 B.eq \f(1,4)　　　C.eq \f(1,2)　　　D.eq \f(1,3) 解析：D　[因为在简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相等，所以选取分层抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性仍为eq \f(1,3).] 2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　) A．100 B．150 C．200 D．250 解析：A　[由题意得，eq \f(70,n－70)＝eq \f(3 500,1 500)， 解得n＝100，故选A.] 3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数大约是(　　) A．102 B．112 C．130 D．136 解析：B　[因为北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，故需从西乡征集的人数是378×eq \f(7 236,8 758＋7 236＋8 356)≈112.] 4．一个班共有54人，其中男同学、女同学人数之比为5∶4，若采用分层抽样的方法抽取9人参加活动，则每个男同学被抽取的可能性为　________　，每个女同学被抽取的可能性为　________　. 解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×eq \f(5,9)＝30(人)，女同学共有54×eq \f(4,9)＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为eq \f(5,30)＝eq \f(1,6)，每个女同学被抽取的可能性为eq \f(4,24)＝eq \f(1,6). 答案：eq \f(1,6)　eq \f(1,6) 5．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表： 学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率； (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq \f(5,39)，求x，y的值． 解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，所以eq \f(30,50)＝eq \f(m,5)，解得m＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)． 其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．所以从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为eq \f(7,10). (2)由题意，得eq \f(10,N)＝eq \f(5,39)，解得N＝78.所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，所以eq \f(48,80＋x)＝eq \f(20,50)＝eq \f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分别为40,5. $$