4.2.3 第3课时 对数函数的性质与图像的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 第3课时　对数函数的性质与图像的应用 课程标准 素养解读 1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式 2.初步掌握对数函数在生活中的应用 1.通过对数函数性质的研究培养学生数学抽象和数学运算素养 2.通过对数函数的应用提升数学建模素养 [情境引入] 你能说出指数函数，对数函数的概念，图像与性质吗？它们有哪些共同点，哪些区别？ [知识梳理] [知识点一]　对数函数的图像及性质　 　对数函数的图像及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图像 性 质 定义域 　(0，＋∞)　 值域 R 定点 　(1,0)　，即x＝　1　时，y＝　0　 单调性 在(0，＋∞)上是 减函数　 在(0，＋∞)上是　增函数　 [知识点二]　复合函数单调性的判定方法　 　设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是　增　函数；若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反．则函数y＝f[g(x)]是　减　函数． [预习自测] 1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log3x，　x＞0，,2x，　x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝　________　. 解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝log3eq \f(1,9)＝－2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝ f(－2)＝2－2＝eq \f(1,4). 答案：eq \f(1,4) 解析：D　[函数y＝ (x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数；y＝log2eq \r(x2－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，(0,2)不是其子区间；y＝log4eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是减函数，故A，B，C均不合题意，应选D，事实上，令t＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，则x∈(0,2)时t＝x2－4x＋5为减函数．又y＝t是(0，＋∞)上为减函数，∴y＝ (x2－4x＋5)在(0,2)上是增函数．故选D.] 3．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．(－3，－1) 解析：A　[要使函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)有意义需满足x2＋2x－3＞0，结合y＝x2＋2x－3的图像解得x＞1或x＜－3，所以函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)；令u＝x2＋2x－3，则y＝log2u，因为函数y＝log2u在u∈(0，＋∞)是单调递增函数，由复合函数同增异减，要求函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间，即为函数u＝x2＋2x－3的单调递减区间与函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)定义域的交集，所以函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间为(－∞，－3)，所以选A.] 　　　利用对数函数单调性解不等式 [例1] 解下列不等式． (1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)； (2)log(2a－1)(x2－3x)＞log(2a－1)(2x＋6)． [思路点拨]　解此类不等式的关键是根据对数函数的单调性及对数的运算性质，将其转化为一般的代数不等式，若对数的底数含有参数，需对底数的范围加以讨论． [解]　(1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3＞0，,5x－6＞0，,2x＋3＞5x－6，))解得eq \f(6,5)＜x＜3， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)＜x＜3)))). (2)当a＞1时，2a－1＞1，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x＞0，,2x＋6＞0，,x2－3x＞2x＋6，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋6＞0，,x2－5x－6＞0，))，解得－3＜x＜－1或x＞6. 当eq \f(1,2)＜a＜1时，0＜2a－1＜1，原不等式等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x＞0，,2x＋6＞0，,x2－3x＜2x＋6，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x＞0，,x2－5x－6＜0，)) 解得－1＜x＜0或3＜x＜6. 综上可知，当a＞1时，原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1，或x＞6}．当eq \f(1,2)＜a＜1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或3＜x＜6}． 　两类对数不等式的解法 1．形如logaf(x)＜logag(x)的不等式． (1)当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0； (2)当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)． 2．形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab. (1)当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab； (2)当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab. [变式训练] 1．(1)已知logaeq \f(1,2)＞1，求a的取值范围； (2)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解：(1)由logaeq \f(1,2)＞1得logaeq \f(1,2)＞logaa. ①当a＞1时，有a＜eq \f(1,2)，此时无解． ②当0＜a＜1时，有eq \f(1,2)＜a， 从而eq \f(1,2)＜a＜1. ∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.72x＜log0.7(x－1) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1. 　　　求对数函数的单调区间 [例2] 求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． [思路点拨]　判断复合函数的单调性时，一定要在定义域内进行，如果含有参数，有时还要对参数进行分类讨论． [解析]　由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2，或x<－eq \f(1,2)}．①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数， 在(－∞，－eq \f(1,2))上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－eq \f(1,2))上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－eq \f(1,2))上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在(－∞，－eq \f(1,2))上为增函数． 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－eq \f(1,2))； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间为(－∞，－eq \f(1,2))，单调减区间为(2，＋∞)． 1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域． 2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型． 3．对于函数y＝logaf(x)，如果定义域为D. y＝logaf(x)的增区间 y＝logaf(x)的减区间 a>1 定义域内f(x)的单调增区间 定义域内f(x)的单调减区间 0<a<1 定义域内f(x)的单调减区间 定义域内f(x)的单调增区间 [变式训练] 2．求函数f(x)＝logeq \f(1,2)(x2－2x－3)的单调区间． [解]　设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝logeq \f(1,2)t在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝logeq \f(1,2)(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)． 　　　与对数函数有关的函数的综合问题 [例3] 已知f(x)＝logaeq \f(1＋x,1－x)(a＞1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)＞0的x的取值范围． [思路点拨]　对数型函数的定义域须满足对数式有意义． [解]　(1)因为f(x)＝logaeq \f(1＋x,1－x)，需有eq \f(1＋x,1－x)＞0， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,1－x＞0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋x＜0，,1－x＜0，))所以－1＜x＜1. 所以函数f(x)的定义域为(－1,1)． (2)因为f(－x)＝logaeq \f(1－x,1＋x) ＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－logaeq \f(1＋x,1－x)＝－f(x)， 又由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，所以f(x)为奇函数． (3)logaeq \f(1＋x,1－x)＞0(a＞1)，因为a＞1，所以可得eq \f(1＋x,1－x)＞1， 由(1)中知x∈(－1,1)，有1－x＞0. 所以可得1＋x＞1－x，解得x＞0.即当a＞1时，x∈(0,1)，有f(x)＞0. (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． (2)含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)若使f(x)存在，必须满足ax－1＞0，即ax＞1. ①a＞1时，x＞0， ②0＜a＜1时，x＜0， ∴a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)． 0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)． 1．已知f(x)＝在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4]　　　　　 B．(－∞，4) C．(－4,4] D．[－4,4] 解析：D　[令t＝x2－ax＋3a，则t在(2，＋∞)上是增函数，且t＞0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2,t2＝4＋a≥0))，求得－4≤a≤4.] 2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2)，则a＝(　　) A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4 解析：D　[因为a>1， 所以y＝logax在[a,2a]上是增函数． 所以loga(2a)－logaa＝eq \f(1,2)， 即loga2＝eq \f(1,2)，所以＝2，解得a＝4.] 3．函数y＝ (x＋1)在区间[0,1]上的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：因为y＝eq \f(1,2)(x＋1)在[0,1]上单调递减，所以y的最小值为f(1)＝2＝－1，最大值为 f(0)＝1＝0. 答案：0　－1 4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是　________　. 解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是(－eq \f(1,2)，＋∞)． 答案：(－eq \f(1,2)，＋∞) 5．根据函数f(x)＝log2x的图像与性质解决以下问题． (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[1,14]上的最值． 解：函数y＝log2x的图像如图． (1)y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.∴a的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵1≤x≤14，∴1≤2x－1≤27， ∴0≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[1,14]上的最小值为0，最大值为log227. $$