4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图像-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[思路点拨]　利用对数函数的单调性判断． [解]　(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π＞0.9，∴log2π＞log20.9. (2)由于log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0， ∴log20.3＜log0.20.3. (3)函数y＝log2x和y＝log3x的图像如图所示．当x＞1时，y＝log2x的图像在y＝log3x的图像上方．这里x＝5，∴log25＞log35. 比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图像，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． [变式训练] 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝x的图像在y＝x图像的上方，所以3<3. (3)当a>1时，y＝logax为增函数，所以loga2<loga3. 当0<a<1时，y＝logax为减函数，所以loga2>loga3. 　　　求函数的值域问题 [例3] (1)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为　________　. (2)函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x，x∈－∞，－1，,log2x，x∈[1，＋∞))的值域为(　　) A．(0,3)　　　　 B．[0,3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) [思路点拨]　先求定义域，再根据对数函数的单调性求值域． [解析]　(1)f(x)的定义域为R. 因为3x>0，所以3x＋1>1. 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log2(3x＋1)>log21＝0. 即f(x)的值域为(0，＋∞)． (2)x<－1时，0<3x<3－1＝eq \f(1,3). x≥1时，log2x≥log21＝0. 所以函数的值域为(0，eq \f(1,3))∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)． 答案：(1)(0，＋∞)　(2)D 求形如y＝logaf(x)(a>0.且a≠1)的复合函数的值域的步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． [变式训练] 3．求下列函数的值域 (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝ (3＋2x－x2)． 解析：(1)设u＝x2＋4≥4. 而y＝log2u是增函数，y＝log24＝2. ∴函数y＝ (x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)y＝ (3＋2x－x2)，设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4. 令t>0.－1<x<3.0<t≤4. 又∵y＝t为减函数．∴y≥4＝－2 ∴函数y＝(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 1．(多选题)函数f(x)＝loga(x＋e)的图像可能不过(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：AD　[(1)0<a<1时，f(x)＝loga(x＋e)的图像不过第一象限，(2)a>1时f(x)＝loga(x＋e)的图像不过第四象限．] 2．已知x＝ln π，y＝log5eq \f(2,3)，z＝则(　　) A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 解析：D　[∵x＝ln π＞1，y＝log5eq \f(2,3)＜0,0＜z＝e－eq \f(1,2)＜1，∴x＞z＞y.] 3．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 解析：A　[因为a＝log23.4>1,0<b＝log43.6<1，c＝log30.3<0，所以a>b>c，故选A.] 4．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图像恒过定点　________　. 解析：令x＋2＝1，得x＝－1，f(－1)＝0＋3＝3， ∴y＝f(x)过定点(－1,3)． 答案：(－1,3) 5．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)． (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围． 解析：(1)若f(x)的定义域为R， 则u＝ax2＋2x＋1的图像恒在x轴的上方， 若a＝0时，2x＋1>0，x>－eq \f(1,2)，不合题意，所以a≠0； 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a<0))，解得a>1， 即实数a的取值范围是(1，＋∞)． (2)若f(x)的值域为R，则u＝ax2＋2x＋1要取遍所有的正数， 所以a＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a≥0))，解得0≤a≤1， 即实数a的取值范围是[0,1]． $$