4.2.3 第1课时 对数函数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[思路点拨]　利用对数函数的定义判断． [解]　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，∴不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. [变式训练] 1．指出下列函数中哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0且a≠1)； (2))y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解析：只有(5)为对数函数． (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． 　　　对数函数式与求值 [例2] (1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝　________　. (2)已知f(x)为对数函数，f(eq \f(1,2))＝－2，则f(eq \r(3,4))＝　________　. [思路点拨]　根据对数函数的形式方程求解． [解析]　(1)由对数函数的定义，可得m2－3m＋3＝1， 解得m＝2或m＝1(舍去)． (2)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则logaeq \f(1,2)＝－2， ∴eq \f(1,a2)＝eq \f(1,2)，即a＝eq \r(2)，∴f(x)＝logeq \r(2)x， 答案：(1)2　(2)eq \f(4,3) 求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值：设出对数函数解析式，代入已知点求解． (2)求解析式：利用已知条件如函数经过的点或单调性求解． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A．－eq \f(7,4)　　　　　　 B．－eq \f(5,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,4) 解析：A　[因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，)) f(a)＝－3， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>1，,－log2a＋1＝－3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤1，,2a－1－2＝－3，)) 解得a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2(－1－1)－2＝－eq \f(7,4).] 　　对数函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域． ①y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； ②y＝log2(16－4x)． [思路点拨]　利用对数函数的定义域判断． 解析：①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x>0，,3＋x>0，))得－3<x<3， 所以函数的定义域是{x|－3<x<3}． ②由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， 所以函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}． 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. [变式训练] 3．函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－1))＋lg(10－x)的定义域为　________　. 解析：由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1>0，,10－x>0，))，解得1<x<10，故定义域为{x|1<x<10}． 答案：(1,10) 　　　对数函数在实际问题中的应用 [例4] 某企业2020年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过eq \f(4,3)亿元的年份是(　　) (参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0,477) A．2 021　　　　　　 B．2 022 C．2 023 D．2 024 [思路点拨]　列出指数关系式，转化为对数函数求解． 解析：D　[设经过x年全年投入的研发资金开始超过eq \f(4,3)亿元，则 (1＋8%)x＝eq \f(4,3)， ∴x＝log1.08eq \f(4,3)＝eq \f(2lg 2－lg 3,lg 1.08) ≈eq \f(0.602－0.477,0.033)≈4. 2020＋4＝2024. 即该企业全年投入的研发资金开始超过eq \f(4,3)亿元的年份是2024.] 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指、对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． [变式训练] 4．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,4)，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过eq \f(1,20)，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)(　　) A．8　B．9　　C．10　　D．11 解析：D　[设至少需要过n次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))n＝eq \f(1,20). 所以nlg eq \f(3,4)≤－lg 20. 即n≥eq \f(lg 20,lg 4－lg 3)≈eq \f(1＋0.3010,2×0.3010－0.4771)≈10.42. 又n∈N，所以n≥11.] 1．(多选题)下列给出的函数，其中是对数函数的是(　　) A．y＝logax2(a>0且a≠1) B．y＝logeq \r(3)－1x C．y＝logxeq \r(3)(x>0且x≠1) 解析：BD　[根据对数函数的定义可知B、D为对数函数．] 2．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg eq \r(x) D．y＝x2与y＝lg x2 解析：C　[A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}．] 3．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))，则f[f(2)]的值为　________　. 解析：由已知条件可知f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，所以f[f(2)]＝f(1)＝2e1－1＝2. 答案：2 4．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域为　________　. 解析：要使函数有意义，必须满足x2－1>0，即x>1或x<－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知f(x)＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x))). (1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))； (2)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 019)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2 019)))； (3)求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1,1)． 解析：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝log3eq \f(1,3)＝－1. feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝log3eq \f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝log33＝1. (2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 019)))＝log3eq \f(1－\f(1,2 019),1＋\f(1,2 019))＝log3eq \f(2 018,2 020)， feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2 019)))＝log3eq \f(1＋\f(1,2 019),1－\f(1,2 019))＝log3eq \f(2 020,2 018)， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 019)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2 019)))＝log3eq \f(2018,2020)＋log3eq \f(2 020,2 018)＝log31＝0. (3)f(a)＋f(－a)＝log3eq \f(1－a,1＋a)＋log3eq \f(1＋a,1－a)＝log3(eq \f(1－a,1＋a)·eq \f(1＋a,1－a))＝0. $$