4.2.2 对数运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识梳理] [知识点一]　对数的运算性质　 1．性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②logaeq \f(M,N)＝　logaM－logaN　；③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)． 2．本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算． 3．应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题． 1.你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？ 提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数． 2．在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？ 提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． [知识点二]　换底公式　 1．公式：logab＝　eq \f(logcb,logca)　(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1； b>0)． 2．本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数． 3．应用：将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算． 3.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ 提示：logab＝eq \f(lg b,lg a)，logab＝eq \f(ln b,ln a). 4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝eq \f(m,n)logNM吗？ 提示：logNnMm＝eq \f(lg Mm,lg Nn)＝eq \f(mlg M,nlg N)＝eq \f(m,n)·eq \f(lg M,lg N)＝eq \f(m,n)logNM. [预习自测] 1．log3(xy)＝log3x＋log3y成立的条件是(　　) A．x＞0，y＞0　　　　　　　　 B．x＞0，y＜0 C．x＜0，y＞0 D．x∈R，y∈R 解析：A　[loga(xy)＝logax＋logay成立的前提条件是a＞0且a≠1，x＞0，y＞0.] 2．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：C　[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5100×0.25＝log525＝log552＝2log55＝2.] 3．lg 0.01＋log216的值是　________　. 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 　　　对数运算性质的应用 [例1] (1)eq \f(lg\r(27)＋lg 8－lg\r(1 000),lg 1.2)； (2)(lg5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. [思路点拨]　利用对数的运算性质及运算法则求值，本着化异为同的原则，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数之间的联系，对于较复杂的真数，可以先化简再计算． [解]　(1)原式＝eq \f(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2),lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(3lg 3＋6lg 2－3,2lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(3,2). (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5) ＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. 底数相同的对数式的化简和 求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)． [变式训练] 1．计算：(1)2log32－log3eq \f(32,9)＋log38－； (2)lg 14－2lgeq \f(7,3)＋lg 7－lg 18. 解：(1)原式＝log34－log3eq \f(32,9)＋log38－ ＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))－9 ＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2＋lg 7－lg 18 ＝lg eq \f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2×18)＝lg 1＝0. 　　　换底公式的应用 [例2] 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． [思路点拨]　由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． [解]　解法一：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝13log25·log52＝13. 解法二：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg 5,3lg 2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg 2,lg 5))) ＝13. 解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323)． ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝3×eq \f(13,3)＝13. 1．(1)解法一是先将括号内换底，然后将底统一． (2)解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性统一化为常用对数(当然也要以换成以其他非1的正数为底的对数)，然后化简． (3)解法三，匠心独具，值得效仿．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法． 2．利用换底公式化简求值时应注意的问题 ①针对具体问题，选择恰当的底数． ②注意换底公式与对数运算法则结合使用． ③换底公式的正用与逆用． ④恰当应用换底公式的两个常用结论． 3．利用换底公式计算、化简、求值的思路 [变式训练] 2．已知log189＝a,18b＝5，求(1)log3645. (2)log915(用a，b表示)． 解：(1)因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log185×9,log182×18) ＝eq \f(log185＋log189,log182＋log1818) ＝eq \f(a＋b,1＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－log189) ＝eq \f(a＋b,2－a). (2)因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝eq \f(log1815,log189)＝eq \f(log183×5,log189) ＝eq \f(log183＋log185,a) ＝eq \f(\f(1,2)log189＋b,a)＝eq \f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq \f(a＋2b,2a). 　　　对数运算的综合应用 [例3] 如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)·lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值． [思路点拨]　解本题的关键是将lg x看成一个整体，从而原方程可以看成关于lg x的二次方程． [解]　方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．由韦达定理，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg eq \f(1,35)，∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝lg eq \f(1,35)，∴αβ＝eq \f(1,35). 只有在一元二次方程中才能应用韦达定理．α，β尽管是原方程的根，但原方程并非是关于x的一元二次方程，所以不能对α，β直接应用韦达定理．而lg α，lg β是关于lg x的二次方程的根，从而可以应用韦达定理求解． [变式训练] 3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))2的值等于(　　) A．2　　B.eq \f(1,2)　　　C．4　　　D.eq \f(1,4) 解析：A　[由韦达定理，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝eq \f(1,2)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋ lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×eq \f(1,2)＝2.] 　　　实际问题中的对数运算 [例4] 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq \f(x,ln x)的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A．768　B．144　　C．767　　D．145 [思路点拨]　由题意，根据π(x)≈eq \f(x,ln x)， 得到估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈eq \f(1 000,ln 1 000)，根据对数的运算，即可求解． [解]D　[由题意，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)＝eq \f(x,ln x)，则估计1 000以内的素数的个数约为π(1 000)≈eq \f(1 000,ln 1 000)＝eq \f(1 000,\f(lg 1 000,lg e))≈eq \f(1 000,\f(3,0.43 429))≈145.] 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [变式训练] 4．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.eq \f(1,10)　B.eq \f(1,100)　C.eq \f(1,1 000)　　D.eq \f(1,10 000) 解析：B　[由题意得：eq \f(M,N)＝eq \f(1010,36×230)，两边取常用对数，可得lg eq \f(M,N)＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88. ∴eq \f(M,N)＝10－1.88≈eq \f(1,100).] 1．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5的值为(　　) A．4　　 　　　　　　　　　 B．1 C．6 D．3 解析：B　[原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5＝(lg 2＋lg 5)2＝1.] 2．已知lg 2＝m，lg 3＝n，用m，n表示log46为(　　) A.eq \f(n,m) B.eq \f(m,n) C．2m2n D.eq \f(m＋n,2m) 解析：D　[log46＝eq \f(lg 6,lg 4)＝eq \f(lg2×3,2lg 2)＝eq \f(lg 2＋lg 3,2lg 2)＝eq \f(m＋n,2m).] 3．若log3(log2x)＝log2(log3y)＝0，则x＝　________　，y＝　________　. 解析：由已知得log2x＝1，故x＝2.同理，y＝3. 答案：2　3 4．3log72－log79＋2log7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2\r(2))))＝　________　. 解析：原式＝log723－log79＋log7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2\r(2))))2＝ log7eq \f(8×\f(9,8),9)＝log71＝0. 答案：0 解析：(1)原式＝lgeq \r(2)×(21geq \r(2)＋lg 5)＋ eq \r(lg\r(2)－12)＝lg eq \r(2)×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg eq \r(2))＝lg eq \r(2)＋1－lg eq \r(2)＝1. (2)原式＝log5eq \f(35×50,14)＋＝log553－1＝3－1＝2. $$