4.1.2 第3课时 指数函数的性质与图像的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识梳理] [知识点一]　指数函数的图像和性质　 a的范围 a>1 0<a<1 图像 性 质 定义域 　R　 值域 　(0，＋∞)　 过定点 　(0,1)　 单调性 在R上是　增函数　 在R上是　减函数　 奇偶性 非奇非偶函数 [知识点二]　函数图像的平移　 1．平移变换 y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(h＞0，右移),\s\do15(h＜0，左移))y＝f(x－h)．y＝f(x)eq \o(――→,\s\up17(k＞0，上移),\s\do15(k＜0，下移))y＝f(x)＋k. [预习自测] 1．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－1,0]上的最大值是(　　) A．－1　　　　　 B．0 C．1 D．3 解析：D　[∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－1,0]上为减函数， ∴当x＝－1时，f(x)max＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3.] 2．函数y＝2x＋1的图像是(　　) 解析：A　[当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.] 3．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝　__________　. 解析：a0＋a1＝3，即1＋a＝3，∴a＝2. 答案：2 [解析]　①当0<a<1时，y＝ax为减函数， 则－5x<x＋7，解得x>－eq \f(7,6). ②当a>1时，y＝ax为增函数，则－5x>x＋7，∴x<－eq \f(7,6)， 综上，当0<a<1时，x∈(－eq \f(7,6)，＋∞)， 当a>1时，x∈(－∞，－eq \f(7,6))． 　　　解含指数型不等式 [例1] (1)如果a－5x>ax＋7(a>0，a≠1)，求x的取值范围． [思路点拨]　分0<a<1和a>1两种情况讨论． (2)设f(x)＝3x，g(x)＝10－eq \f(9,3x)，如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ [思路点拨]　令t＝3x，整体代换，转化为二次函数范围问题． [解析]　由f(x)<g(x)得3x<10－eq \f(9,3x)， 即(3x)2－10×3x＋9<0. 设t＝3x>0，故有t2－10t＋9<0,1<t<9， 即1<3x<9，∴0<x<2. 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(eq \f(1,a))x(a>0，且a≠1)等． [变式训练] 1．不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2≤2x的解集为　________　. 解析：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2＝(2－1)x2－2＝22－x2， ∴原不等式等价于22－x2≤2x. ∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤x， ∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1， ∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}． 答案：{x|x≥1，或x≤－2} 　　　指数型函数的单调性 [例2] 判断f(x)＝的单调性，并求其值域． [思路点拨]　令t＝x2－2x，则y＝与t＝x2－2x的单调性相反． [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝，求f(x)的值域与单调区间． 解：令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq \f(1,2)，故函数y＝的值域为[eq \f(1,2)，＋∞)，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． 3．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间． 解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0<t≤1时，0<2x≤1，x≤0. 　　　指数函数图像的应用 [例3] 已知函数y＝2|x＋2|. (1)画出该函数的图像； (2)由图像指出其单调区间． [思路点拨]　先去掉解析式中的绝对值，再利用平移变换作图． [解]　(1)∵y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋2，　x≥－2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，　x<－2.))∴y＝2x＋2(x≥－2)的图像可由y＝2x的图像向左平移2个单位，再截取x≥－2的部分得到．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2(x<－2)的图象可由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像向左平移2个单位，再截取x<－2的部分得到．∴函数y＝2|x＋2|的图像如图． (2)由图像可知其单调递增区间为[－2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2]． 作函数图像的方法一般有：一是列表、描点、连线法作图像；二是利用已知函数图像作平移、对称等变换得到，函数图像形象直观，只要能作出函数的图像，便可由图像求出函数的单调性、最值、值域、奇偶性等性质． [变式训练] 4．画出下列函数的图像并根据图像求单调区间： (1)y＝|2x－2|；(2)y＝2－|x|. 解：(1)y＝|2x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－2x≥1，,2－2xx＜1，))的图像如下图． 由图像可得函数y＝|2x－2|的递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1]． (2)y＝2－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xx≥0，,2xx＜0))的图像如下图． 由图像可得函数y＝2－|x|的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)． 　　　指数函数性质的综合应用问题 [例4] 设a＞0，f(x)＝eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)是定义在R上的偶函数． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． [思路点拨]　利用等式f(－x)＝f(x)恒成立确定a的值，利用单调性的定义证明是增函数． [解]　(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)， 即eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)＝eq \f(1,aex)＋aex. 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)－ex))＝0对一切x∈R恒成立． 由此可得a－eq \f(1,a)＝0，即a2＝1. 又因为a＞0，所以a＝1. 1．形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的求法 (1)定义法．即“取值——作差——变形——定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性． (2)利用复合函数的单调性的规律来判断． 2．由指数函数构成的复合函数的值域求法 一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况． 3．判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)正确利用变形技巧：分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0来判定． (3)巧用图像的特征：在解答有图像信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，进行快速判定． [变式训练] 5．已知函数f(x)＝a－eq \f(1,2x＋1)(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值． (2)∵f(x)在x∈R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－eq \f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq \f(1,2). (3)由(2)知，f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2x＋1)， 由(1)知，f(x)为增函数， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为eq \f(1,6). 　　　指数型函数的实际应用 [例5] 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [思路点拨]　先列出关系式，再代入求解． [解]　(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． 解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． [变式训练] 6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过　________　小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1　B．2　　C．3　　D．4 解析：B　[设n个小时后才可以驾车， 由题得方程0.8(1－50%)n＝0.2， 0．5n＝eq \f(1,4)，n＝2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车．] 7．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x， 定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100. 1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(eq \f(1,2)，＋∞)　　　　　 B．(0，eq \f(1,2)) C．(－∞，eq \f(1,2)) D．(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)) 解析：B　[由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<eq \f(1,2)，即实数a的取值范围是(0，eq \f(1,2))．] 2．函数y＝(eq \f(1,2))1－x的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：A　[由已知得，f(x)的定义域为R， 设u＝1－x，y＝(eq \f(1,2))u. 因为u＝1－x在R上为减函数， 又因为y＝(eq \f(1,2))u在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以y＝(eq \f(1,2))1－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A.] 3．若f(x)＝eq \f(1,2x－1)＋a是奇函数，则a＝　________　. 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， 即eq \f(1,2－1－1)＋a＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,21－1)＋a))，∴a＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 4．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图像有两个交点，则a的取值范围是　________　. 解析：y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图像如图所示， 则有0＜2a＜1，即0＜a＜eq \f(1,2). 答案：0＜a＜eq \f(1,2) 5．已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是减函数，所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. $$