4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图像-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识梳理] [知识点]　指数函数的图像和性质　 1．图像和性质 0<a<1 a>1 图像 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　 在R上是减函数 在R上是增函数 2.本质：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图像，观察这些图像的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即指数函数的性质． 3．应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式； ④求参数的范围． 1.根据指数函数图像，当x>0或x<0时，y的范围是什么？ 提示： 底数 x的范围 y的范围 a>1 x>0 y>1 x<0 0<y<1 0<a<1 x>0 0<y<1 x<0 y>1 4．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与底数a有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图像是“下降”的． 2．当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图像有什么关系？ 提示：关于y轴对称． 3．在直角坐标系中指数函数图像不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图像只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． [预习自测] 1．如图所示的是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像，已知a的取值分别为eq \r(2)，eq \f(4,3)，eq \f(3,10)，eq \f(1,5)，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的a依次为(　　) A.eq \f(4,3)，eq \r(2)，eq \f(1,5)，eq \f(3,10)　　　　　　 B.eq \r(2)，eq \f(4,3)，eq \f(3,10)，eq \f(1,5) C.eq \f(3,10)，eq \f(1,5)，eq \r(2)，eq \f(4,3) D.eq \f(1,5)，eq \f(3,10)，eq \f(4,3)，eq \r(2) 解析：D　[相应于曲线c1，c2，c3，c4的a依次为eq \f(1,5)，3,10)，eq \f(4,3)，eq \r(2).] 2．函数f(x)＝3x＋1的值域为(　　) A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞) 解析：B　[∵y＝3x＞0，∴f(x)＝3x＋1＞1.] 3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是　________　. 答案：1<a<2 　　　指数函数图像的应用 [例1] (1)如图所示是下列指数函数的图像，①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d　　　　　 B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c [思路点拨]　先判断a，b，c，d与1的大小，再判断a与b，c与d的大小． [解析]　B　[可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像越靠近x轴，故选B.] (2)函数y＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图像过定点(　　) A．(0,0) B．(0,1) C．(1,1) D．(1,2) 解析：D　[令x－1＝0，得x＝1.∴y＝a0＋1＝2，∴过定点(1,2)．] 1．指数函数的图像随底数变化的规律 (1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)． [变式训练] 1．(1)若b＜－1，则函数y＝ax＋b(a＞1)的图像必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[y＝ax＋b的图像是由指数函数y＝ax(a＞0)向下平移|b|单位得到，如图，故选B.] (2)函数y＝ax－2＋1(a>0，a≠1)的图像必经过点　________　. 解析：令x＝2得y＝a0＋1＝2，∴图像必经过点(2,2)． 答案：(2,2) 　　　指数函数的定义域和值域问题 [例2] 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝(eq \f(2,3))－|x|；(3)y＝eq \r(1－\f(1,2)x). [思路点拨]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解． [解析]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵eq \f(1,x－4)≠0，∴≠1， ∴y＝2eq \f(1,x－4)的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)定义域为R.∵|x|≥0，∴y＝(eq \f(2,3))－|x|＝(eq \f(3,2))|x|≥(eq \f(3,2))0＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－(eq \f(1,2))x≥0，∴(eq \f(1,2))x≤1＝(eq \f(1,2))0， ∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∴x≥0，∴(eq \f(1,2))x≤1. 又∵(eq \f(1,2))x>0，∴0<(eq \f(1,2))x≤1.∴0≤1－(eq \f(1,2))x<1， ∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1)． 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． ⑤通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． ⑥当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． [变式训练] 2．函数y＝eq \r(1－2x)的定义域为　________　，值域为　________　. 解析：令1－2x≥0，∴2x≤1. 由图像知，x≤0. 定义域为(－∞，0]． ∴2x>0，∴1－2x<1. ∴y＝eq \r(1－2x)的值域为[0,1)． 答案：(－∞，0]　[0,1) 　　　利用单调性比较大小 [思路点拨]　可以利用两幂值的特点，构造指数函数，利用其单调性进行比较大小． [解析]　(1)考察函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))x.∵0<eq \f(5,6)<1， ∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又∵－0.24>－eq \f(1,4)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－0.24<. (2)考察函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x.∵0<eq \f(1,π)<1， ∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又∵－π<0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))0＝1. (3)先考察函数y＝0.8x.∵0<0.8<1， ∴函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又∵－2<0，∴0.8－2>0.80＝1. 再考察函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x. ∵eq \f(5,4)>1，∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又∵－eq \f(1,2)<0，∴<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0＝1. 综上可知0.8－2>. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图像解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图像，依据底数a对指数函数图像的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图像比较大小． [变式训练] 解：(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2. (2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33)))x的图像(如图)，由图知. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1， ∴1.50.3>0.81.2. 1．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<1，则有(　　) A．0<n<m　　　　　　 B．n<m<0 C．0<m<n D．m<n<0 解析：A　[由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0.因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是减函数，所以，m>n>0.] 2．已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝1.30.86，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：D　[∵函数y＝0.86x在R上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1. 又1.30.86>1，∴c>a>b] 3．函数f(x)＝＋m(a>1)恒过定点(1,10)，则m＝　________　. 解析：当x＝1时，x2＋2x－3＝0， 故a0＋m＝10， 所以m＝9. 答案：9 4．已知指数函数f(x)＝(1－2a)x，且满足f(6)<f(eq \r(6))，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由已知得，f(x)在R上是减函数， 故0<1－2a<1，解得0<a<eq \f(1,2). 答案：(0，eq \f(1,2)) $$