4.1.2 第1课时 指数函数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　指数增长模型　 1．定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝　N(1＋p)x(x∈N)　 2．应用：刻画指数增长或衰减变化规律． [预习自测] 1．下列函数中一定是指数函数的是(　　) A．y＝5x＋1　　　　　　 B．y＝x4 C．y＝3－x D．y＝2·3x 解析：C　[只有y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x符合指数函数的定义，A、B、D中函数都不符合y＝ax(a＞0且a≠1)的形式．] 2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1 C．a>eq \f(1,2)，且a≠1 D．a≥eq \f(1,2) 解析：C　[依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，故选C.] 3．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝eq \f(fx,fy) C．f(eq \f(x,y))＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 解析：ABD　[f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确：f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝eq \f(ax,ay)＝eq \f(fx,fy)，故B中的等式正确；f(eq \f(x,y))＝aeq \f(x,y)＝(ax)eq \f(1,y)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)eq \f(1,y)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n故D中的等式正确．] 　　　指数函数的概念 [例1] 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)． [思路点拨]　依指数函数的概念判断． 解析：(1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数． 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合ax(a>o，a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x； (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)ax的系数是1. [变式训练] 1．指出下列函数哪些是指数函数：(1)y＝3x.(2)y＝x2.(3)y＝－3x.(4)y＝(－3)x. 解析：(1)为指数函数． (2)中底数不是常数，故不是指数函数． (3)是－1与指数函数3x的乘积． (4)中底数－3<0，故不是指数函数． 　　　指数函数的解析式及其应用 [例2] (1)函数y＝(a2－a－1)·ax是指数函数，求a的值． [思路点拨]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)是一种形式函数． [解析]　依题意应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－a－1＝1，,a>0，,a≠1，)) 解得a＝2(a＝－1舍去)．所以a的值是2. (2)指数函数f(x)过点(2，eq \f(1,2))，则f(x)＝　________　. [思路点拨]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)是一种形式函数． [解析]设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a2＝eq \f(1,2)，所以a＝eq \f(\r(2),2)，所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x. [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． [变式训练] 2．(1)函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2　　　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 解析：C　[由指数函数的定义知： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0且a≠1))，∴a＝2(a＝1舍去)．] (2)若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，则f(－1)＝　________　. 解析：设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，将点(2,9)的坐标代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)，所以 f(x)＝3x，所以f(－1)＝eq \f(1,3). 答案：eq \f(1,3) 　　　函数模型y＝kax的实际应用 [例3] 荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的eq \f(1,16)时，荷叶已生长了(　　) A．10天　　　　　　　　 B．15天 C．16天 D．19天 [思路点拨]　设初始覆盖面积为a，x天后的覆盖面积为y＝a·2x.利用指数运算求解． [解析]　C　[设初始覆盖面积为a，x天后的覆盖面积为y＝a·2x，荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的eq \f(1,16)时，可得a·220·eq \f(1,16)＝a·2x0，216＝2x0，解得x0＝16.故当荷叶刚好覆盖水面面积的eq \f(1,16)时，荷叶已生长了16天．] 关于函数y＝kax在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律． (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题． [变式训练] 1．(多选题)下列以x为自变量的函数中不是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x　　　　 B．y＝λx(λ>1) C．y＝－4x D．y＝aa＋2(a>0且a≠1) 解析：ACD　[A中底数不满足大于0且不等于1；C中系数不是1；D中指数不是独立的x；只是选项B满足指数函数定义．] 2．下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1 D．y＝(eq \f(1,3))x 解析：D　[根据指数函数的定义知，D正确．] 3．下列函数是指数函数的有　________　(填序号)． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝πx；⑤y＝4x2；⑥y＝xx；⑦y＝(2a－1)x(a为常数，a>eq \f(1,2)，且a≠1)． 解析：②不是指数函数，因为自变量不在指数的位置上；③是－1与4x的乘积，不是指数函数；⑤中指数不是自变量x；⑥中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的概念．故指数函数有①④⑦. 答案：①④⑦ 4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0,\f(1,2)x，x<0，))则f[f(－4)]＝　________　. 解析：依题意，知f(－4)＝(eq \f(1,2))－4＝16， f(16)＝eq \r(16)＝4，∴f[f(－4)]＝f(16)＝4. 答案：4 5．若函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，求a的值． 解析：由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－5a＋5＝1，,a>0，,a≠1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝1，,a>0，,a≠1，))所以a＝4. $$