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第2课时 无理数指数幂及其运算
课程标准
素养解读
1.通过对实数指数幂aα(a>0,且a≠1,α∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程
2.掌握实数指数幂的运算性质
1.通过实数指数幂的意义提升数学抽象素养
2.通过实数指数幂的运算性质提升逻辑推理和数学运算素养
[情境引入]
当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”,据此规律,人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数t的关系.p=.
[知识梳理]
[知识点一] 无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个 确定的 实数.
1.为什么规定底数a>0?
提示:规定底数大于零是必要的,否则会出现,就无法确定是1还是-1.
[知识点二] 实数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈R)
(1)aras= ar+s .
(2)(ar)s= ars .
(3)(ab)r=arbr.
2.指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的?
提示:
[预习自测]
1.下列各式运算错误的是( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
解析:C [对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,故C错误;对于D,易知正确.]
3.计算:2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12)= ________ .
答案:6
无理数指数幂的运算
[思路点拨] 若a>0,b>0,r,s∈R,则ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.
(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=eq \f(5,2)-1+eq \f(1,16)+eq \f(1,8)=eq \f(27,16).
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,并尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式力求统一.
[变式训练]
有条件的求值问题
[例2] 已知+=eq \r(5),求下列各式的值:
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.
[思路点拨] 从已知条件中解出a,然后再代入求值,这种方法不可取.应考虑从整体中寻求需求值的式子与已知条件的联系.
[解] (1)将+=eq \r(5)两边平方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,所以a2+a-2=7;(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45,所以y=±3eq \r(5),即a2-a-2=±3eq \r(5).
条件等式求值的原则和方法技巧
1.原则:①对于条件等式的求值问题,可以把所要求的式子先进行变形,找出与条件等式的联系,然后求值.
②也可以先对条件加以变形,使它与所要求的式子的联系更加明显,从整体上把握代数式的结构特点,然后求值.
2.解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题,一般先化筒代数式,再将字母的取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式适当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0,b>0):
[变式训练]
实际问题中的指数运算
[例3] 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.例如计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子:
α
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2α
32
64
128
256
…
16384
32768
…
134217728
268435356
536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的和来实现.比如,计算64×256的值,就可以先查第一行的对应数字:64对应6,256对应8,然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14;第一行中的14,对应第二行中的16 384,所以有64×256=16 384.
按照这样的方法计算16 384×32 768=( )
A.134 217 728
B.268 435 356
C.536 870 912
D.513 765 802
[思路点拨] 分析表中的规律是求解的关键.
[解析]C [由已知可知,要计算16384×32768,先查第一行的对应数字,16384对应14,32768对应15,然后再把第一行中的对应数字加起来:14+15=29,对应第二行中的536870912.
所以有:16384×32768=536870912.故选C.]
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中,常常用到指数运算,用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
[变式训练]
3.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后加满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 ________ 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
[解析] 由题意,第n次操作后溶液的浓度为(1-eq \f(1,2))n;令(eq \f(1,2))n<eq \f(1,10),验证可得n≥4.
所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
答案:4
1.化成根式形式为( )
A.eq \r(3,24) B.eq \r(4,32) C.eq \r(4,23) D.eq \r(2,43)
解析:C [=eq \r(4,23).]
3.若eq \r(x2+2x+1)+eq \r(y2+6y+9)=0,则(x2021)y= ________ .
解析:因为eq \r(x2+2x+1)+eq \r(y2+6y+9)=0,
所以eq \r(x+12)+eq \r(y+32)=|x+1|+|y+3|=0,
所以x=-1,y=-3.
所以(x2 021)y=[(-1)2021]-3=(-1)-3=-1.
答案:-1
4.已知eq \f(3a,2)+b=1,则eq \f(9a×3b,\r(3a))= ________ .
答案:3
$$