4.1.1 第1课时 n次方根与分数指数幂-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 第1课时　n次方根与分数指数幂 课程标准 素养解读 1.通过对有理数指数幂aeq \f(m,n)(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2.掌握指数幂的运算性质 1.通过运用根式的性质应用提升数学抽象和数学运算素养 2.通过学习指数幂的运算性质，提升逻辑推理及数学运算素养 提示：若xn＝a，则x叫做a的n次方根，若n为奇数，则x＝eq \r(n,a)；若n为偶数，则x＝±eq \r(n,a)(a≥0)． [情境引入] (1)如果x2＝a，则x叫做a的平方根，记作x＝±eq \r(a)；如果x3＝a，则x叫做a的三次方根(立方根)，记作x＝eq \r(3,a)；若x4＝a呢？ 提示：若x4＝a，则x叫做a的4次方根，记作x＝±eq \r(4,a). (2)如果xn＝a，则x叫做a的什么？如何表示？ [知识梳理] [知识点一]　方根与根式的定义 1．a的n次方根定义 如果　xn＝a　，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 eq \r(n,a) a∈R n为偶数 ±eq \r(n,a) [0，＋∞) 3.根式 式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做　根指数　，a叫做　被开方数　. [知识点二]　根式的性质　 1.eq \r(n,0)＝　0　(n∈N*，且n>1)． 2．(eq \r(n,a))n＝　a　(n∈N*，且n>1)． 3.eq \r(n,an)＝　a_　(n为大于1的奇数)． eq \r(n,an)＝　|a|　＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　　a　　　a≥0,　　－a　　a<0))(n为大于1的偶数)． 1.正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． 2．(eq \r(n,a))n与eq \r(n,an)中的字母a的取值范围是否一样？ 提示：取值范围不同．式子(eq \r(n,a))n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子eq \r(n,an)中，a∈R. [知识点三]　分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)　 [知识点四]　有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)　 (1)aras＝ar＋s.(2)(ar)s＝ars.(3)(ab)r＝arbr. 3.为什么分数指数幂的底数规定a>0? 提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则无意义； ②当a＝0时，a0无意义． 4．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除eq \f(ar,br)分别等于什么？ 提示：①ar÷as＝ar－s；②eq \f(ar,br)＝(eq \f(a,b))r. [预习自测] 1.eq \r(3,－8)的值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．－8 答案：B 2．当n＞1，且n∈N*时，以下说法正确的是(　　) A．正数的n次方根是一个正数 B．负数的n次方根是一个负数 C．0的n次方根是0 D．a的n次方根用eq \r(n,a)表示 解析：C　[由n次方根的意义知C正确．] 3.eq \r(6 \f(1,4))－ eq \r(3,3 \f(3,8))＋eq \r(3,0.125)的值等于　________　. 解析：原式＝eq \r(\f(25,4))－eq \r(3,\f(27,8))＋eq \r(3,\f(1,8))＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 　　　n次方根的概念 [例1] (1)16的平方根为　________　，－27的5次方根为　________　. (2)已知x7＝6，则x＝　________　. (3)若eq \r(4,x－2)有意义，则实数x的取值范围是　________　. [思路点拨]　依a的n次方根的定义判断求解． [解析]　(1)∵(±4)2＝16， ∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq \r(5,－27). (2)∵x7＝6，∴x＝eq \r(7,6). (3)要使eq \r(4,x－2)有意义， 则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． [答案]　(1)±4　eq \r(5,－27)　 (2)eq \r(7,6)　(3)[2，＋∞) (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式eq \r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，eq \r(n,a)为非负实数；②当n为奇数时，eq \r(n,a)的符号与a的符号一致． [变式训练] 1．有下列说法 ①eq \r(3,－27)＝3； ②16的4次方根是±2； ③eq \r(4,81)＝±3； ④ eq \r(x＋y2)＝|x＋y|； ⑤若x＜2，则 eq \r(8,x－28)＋(eq \r(3,x－\r(2)))3＝2－eq \r(2). 其中正确的是　________　.(填正确说法的序号) 解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故eq \r(3,－27)＝－3，①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；eq \r(4,81)＝3，③错误；eq \r(x＋y2)是正数，所以eq \r(x＋y2)＝|x＋y|，④正确．由题意知x－2＜0，故eq \r(8,x－28)＋(eq \r(3,x－\r(2)))3＝|x－2|＋x－eq \r(2)＝2－x＋x－eq \r(2)＝2－eq \r(2)，⑤正确． 答案：②④⑤ 　　　利用根式的性质化简与求值 [例2] 求下列各式的值 (1) eq \r(4,3－π4)；(2) eq \r(x2－2xy＋y2)＋ eq \r(7,y－x7). [思路点拨] 利用eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，　n为奇数，,|a|，　n为偶数))，要注意n为奇数还是偶数及a的正负． [解]　(1)∵3－π＜0，∴ eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3. (2)原式＝eq \r(x－y2)＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 即原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，　x≥y，,2y－x，　x＜y.)) 当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|，本题中要注意n的奇偶性对式子eq \r(n,an)的值的影响，做到理解，并能熟练应用． [变式训练] 2．求下列各式的值 (1) eq \r(3,－83)＋ eq \r(4,3－π4)； (2)(eq \r(5,a－b))5＋(eq \r(6,b－a))6(b＞a)． (3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4). 解：(1) eq \r(3,－83)＋ eq \r(4,3－π4) ＝－8＋π－3＝π－11. (2)(eq \r(5,a－b))5＋(eq \r(6,b－a))6 ＝a－b＋b－a＝0. (3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4) ＝1＋eq \r(2)＋eq \r(2)－1 ＝2eq \r(2). 　　　根式与分数指数幂的互化 [思路点拨]　依据根式与分数指数幂的转化规律求解． 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 INCLUDEPICTURE"S114+.TIF" 分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [变式训练] 3．用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0) (1)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；(2) eq \r(a\r(a\r(a)))；(3)(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3)； (4)eq \f(1,\r(4,a3＋b32)) . 　　　分数指数幂的综合运算 [思路点拨]　先化根式为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简． (1)幂的运算的常规方法 ①化负指数幂为正指数幂； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数进行运算． (2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． [变式训练] 1．化简eq \f(\r(－x3),x)的结果是(　　) A．－eq \r(－x)　　　　　　　　 B.eq \r(x) C．－eq \r(x) D.eq \r(－x) 解析：A　[eq \f(\r(－x3),x)＝eq \f(－x·\r(－x),x)＝－eq \r(－x).] 2．下列各式：①eq \r(n,an)＝a；②(a2－3a＋3)0＝1；③eq \r(3,－3)＝eq \r(6,－32).其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　[eq \r(n,an)＝|a|，a2－3a＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)≠0，eq \r(6,－32)＝eq \r(3,3)，故只有②正确．] 3．根式a eq \r(－a)化成分数指数幂是　________　. 解析：∵－a≥0，∴a≤0， ∴aeq \r(－a)＝－eq \r(－a2－a)＝－eq \r(－a3)＝. 答案： 解析：－(－9.6)0－＋0.1－2＝－1－＋100＝eq \f(3,2)－1－eq \f(4,9)＋100＝eq \f(1801,18). 答案：eq \f(1801,18) 5．化简与求值： (1)eq \r(3,－53)； (2)eq \r(4,－92)； (3)eq \r(6,4a2－4a＋1)(a≤eq \f(1,2))； (4)eq \r(x2－2xy＋y2)＋eq \r(5,y－x5). 解：(1)eq \r(3,－53)＝－5. (2)eq \r(4,－92)＝eq \r(4,81)＝eq \r(4,34)＝3. (3)∵a≤eq \f(1,2)，∴1－2a≥0， ∴eq \r(6,4a2－4a＋1)＝eq \r(6,2a－12)＝eq \r(6,1－2a2)＝eq \r(3,1－2a). (4)原式＝eq \r(x－y2)＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． ∴eq \r(x2－2xy＋y2)＋eq \r(5,y－x5)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，x≥y，,2y－x，x<y.)) $$