5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　) A．－　　　　　　 B．－ C．－4 D．－1 解析：A　[因为f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或－3；当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当1＜x＜2时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；所以f(x)在x＝1处取极小值，也是最小值，所以f(x)min＝f(1)＝＋1－3－4＝－.] 2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 解析：A　[令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．] 3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为(　　) 解析：A　[f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)在上是增函数．∴f(x)的最大值为f＝×，f(x)的最小值为f(0)＝.] 4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　) A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜ 解析：B　[∵函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，∴f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，①若a≤0，可得f′(x)≥0，f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′(x)＝0解得x＝±，当x＞时，f(x)为增函数，当0＜x＜时，f(x)为减函数，f(x)在x＝处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在(0,1)内，符合要求．综上所述，a的取值范围为(0,1)，故选B.] 5．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式exf(x)＞ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：A　[设g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， ∵f(x)＋f′(x)＞1，∴f(x)＋f′(x)－1＞0， ∴g′(x)＞0，∴y＝g(x)在定义域上单调递增． ∵exf(x)＞ex＋3.∴g(x)＞3，又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，∴g(x)＞g(0)，∴x＞0.] 6．(双空题)函数f(x)＝4x2(x－2)在[－1，1]上的最小值为________，最大值为________． 解析：∵f(x)＝4x3－8x2，∴f′(x)＝12x2－16x＝4x(3x－4)．令f′(x)＝0，则x＝0或x＝.又x∈[－1,1]，∴f(1)＝－4，f(0)＝0，f(－1)＝－12.∴f(x)的最大值为0，最小值为－12. 答案：－12　0 7．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1，a)上有最小值，则实数a的取值范围是　________. 解析：f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，∴x＝－1是函数f(x)的极小值点．∵函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1，a)上有最小值，即为极小值，∴a－1＜－1＜a，解得－1＜a＜0. 答案：(－1,0) 8．设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值． 解：函数f(x)的定义域为(0,2)， f′(x)＝－＋a. (1)当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)． (2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞]上的最大值为，则a的值为(　　) A.－1 B. C. D.＋1 解析：A　[由f(x)＝，得f′(x)＝，当a＞1时，若x＞，则f′(x)＜0，f(x)单调递减；若1＜x＜，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，解得a＝＜1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不符合题意．当0＜a＜1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)＝＝，解得a＝－1，符合题意．故a的值为－1，故选A.] 10．(多选)设f(x)＝xa·cos x，x∈的最大值为M，则(　　) A．当a＝－1时，M＜ B．当a＝2时，M＜ C．当a＝1时，M＞ D．当a＝3时，M＜ 解析：AB　[对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝在区间上单调递减，∴M＝＝＜，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2cos x，则f′(x)＝xcos x(2－xtan x)＞0，∴f(x)在区间上单调递增，即M＝＜，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，当x∈时，x＜tan x恒成立，∴f(x)＝x cos x＜tan x cos x＝sin x≤，∴M＜，故选项C错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)＞0，∴f(x)在区间上单调递增，∴M＝·3＞，故选项D错误．] 11．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________. 解析：∵f(x)是奇函数，x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1，当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a＞， ∴0＜＜2. 令f′(x)＞0，则x＜，∴f(x)在上递增； 令f′(x)＜0，则x＞，∴f(x)在上递减， ∴f(x)max＝f＝ln －a·＝－1，∴ln＝0，得a＝1. 答案：1 12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1,5]上的最大值和最小值． 解：根据题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，得a＝5.所以f(x)＝x3－5x2＋3x. 令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x＝3或x＝(舍去)． 当1≤x＜3时，f′(x)＜0，函数f(x)在[1,3)上是减函数； 当3＜x≤5时，f′(x)＞0，函数f(x)在(3,5]上是增函数． 由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，也就是函数f(x)在[1,5]上的最小值．又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，即函数f(x)在[1,5]上的最大值为f(5)＝15. 综上，函数f(x)在[1,5]上的最大值为15，最小值为－9. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若a≤0，则函数f(x)没有极值 B．若a＞0，则函数f(x)有极值 C．若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是 D．若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(－∞，0]∪ 解析：ABD　[由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)＜0恒成立，此时f(x)单调递减，没有极值，又∵当x→0时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞， ∴f(x)有且只有一个零点．当a＞0时，在上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在上，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴当x＝时，f(x)取得极小值，同时也是最小值， ∴f(x)min＝f＝1＋ln a．当x→0时，ln x→－∞，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当1＋ln a＝0，即a＝时，f(x)有且只有一个零点；当1＋ln a＜0，即0＜a＜时，f(x)有且仅有两个零点．综上可知ABD正确，C错误．] 14．已知函数f(x)＝若方程[f(x)]2＝a恰有两个不同的实数根m，n，则m＋n的最大值是________． 解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示，由[f(x)]2＝a可得f(x)＝，所以＞1，即a＞1，不妨设m＜n，则2m2＝en＝，令＝t(t＞1)，则m＝－，n＝ln t，所以m＋n＝ln t－ ，令g(t)＝ln t－，则g′(t)＝，所以当1＜t＜8时，g′(t)＞0；当t＞8时，g′(t)＜0， 当t＝8时，g(t)取得最大值g(t)＝ln 8－2＝3ln 2－2. 答案：3ln 2－2 学科网（北京）股份有限公司 $$