5.3.2 第1课时 函数的极值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．(多选)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则给出的下列命题中正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 D．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增 解析：AD　[结合y＝f′(x)的图象，可知，对A，由于x＝－3的两侧导数符号不同，故－3是极值点；对B，由于－1两侧导数符号相同，因而不是极值点；对C，x＝0处的导数大于零，故在x＝0处的切线斜率大于零；对D，当x∈(－3,1)时导数大于零，因而为递增区间．综上可知A、D正确．] 2．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[f′(x)＝0，但f′(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值，但f(x)有极值则f′(x)在极值处一定等于0.所以“f′(x)有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．] 3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 解析：D　[∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．] 4．若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜　　　　　 B．0＜m＜ C．m＞ D．0＜m＜1 解析：B　[由y＝ex－2mx，得y′＝ex－2m.∵函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，∴ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根．∵x＜0，∴0＜ex＜，∴0＜m＜.] 5．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　　) A．f(a)＞f(e)＞f(d) B．函数f(x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减 C．函数f(x)的极值点为c，e D．函数f(x)的极大值为f(b) 解析：ABD　[由题图知可，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，对A，f(d)＞f(e)，故A错误；对B，函数f(x)在[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递增，在[c，d]上单调递减，故B错误；对C，函数f(x)的极值点为c，e，故C正确；对D，函数f(x)的极大值为f(c)，故D错误．] 6．若函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则a＝________. 解析：由题意，函数f(x)＝－x3＋ax2－4，可得f′(x)＝－3x2＋2ax，因为x＝2是函数f(x)的极值点，可得f′(2)＝0，所以－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3. 答案：3 7．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)＜0，即(1－a)(5－a)＜0，解得1＜a＜5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5) 8．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值. (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值． 解：(1)因为f(x)＝ax2＋bln x，所以f′(x)＝2ax＋.又函数f(x)在x＝1处有极值. 故即解得 (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域为(0，＋∞)．且f′(x)＝x－＝. 令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，而无极大值． [能力提升练] 9．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为(　　) A．0 B. C. D. 解析：C　[函数y＝x＋2cos x的导数为y′＝1－2sin x，令y′＝1－2sin x＝0，得sin x＝，又因为x∈，所以x＝，当x∈时，y′＞0，当x∈时，y′＜0，所以函数y＝x＋2cos x在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数y＝x＋2cos x取得极大值的x的值为，故选C.] 10．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a＞1时，f(x)有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 解析：AD　[求导得f′(x)＝6x(x－a)，于是A正确，当a＞1时，极大值f(0)＝1＞0，极小值f(a)＝1－a3＜0，所以必有三个零点；B错，a＜0时x＝0应为极小值点；C错，任何三次函数不存在对称轴；D正确，当a＝2时f(x)＝2(x－1)3－6(x－1)－3，关于(1，－3)中心对称．] 11. f(x)＝sin x＋6cos x＋2x＋cos 2x在x＝x0处取得极值，则cos 2x0＝　________. 解析：由已知得f′(x)＝cos x－6sin x＋2－sin 2x，∵在x＝x0处取得极值，∴f′(x0)＝cos x0－6sin x0＋2－sin 2x0＝0， ∴cos x0－6sin x0＋2－3sin x0cos x0＝0， 即(1－3sin x0)(2＋cos x0)＝0. ∵|cos x0|≤1， ∴2＋cos x0≠0， ∴1－3sin x0＝0，即sin x0＝， ∴cos 2x0＝1－2 sin2x0＝1－2×2＝. 答案： 12．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知 f′(1)＝f′(2)＝0， ∴解方程组得a＝－， b＝－ . (2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x， 且函数f(x)＝－ln x －x2＋x的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝－x－1－x＋1＝－. 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点． [素养培优练] 13．(多选)已知f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1 B．单调递增区间为(－∞，e) C．f(x)的极大值为 D．方程f(x)＝－1有两个不同的解 解析：AC　[因为f(x)＝，所以函数的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝，f′(1)＝1，f(1)＝0，所以f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y－0＝f′(1)(x－1)， 即y＝1·(x－1)＝x－1，故A正确；在(0，e)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，在(e，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故B错误；f(x)的极大值也是最大值为f(e)＝＝，故C正确；方程f(x)＝＝－1的解的个数，即为ln x＝－x的解的个数，即为函数y＝ln x与y＝－x图象交点的个数，作出函数y＝ln x与y＝－x图象如图所示： 由图象可知方程f(x)＝－1只有一个解，故D错误．故选AC.] 14．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a取值范围为______________． 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a，所以f′(x)＝－.①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，当x＞1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点；②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－，因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－＞1，解得－1＜a＜0.综合①②，a的取值范围是a＞－1. 答案：(－1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$