5.1.2 导数的概念及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 　 A　　　　B　　　　C　　　　D 解析：A　[函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．] 2．若 ＝1(m为常数)，则f′(x0)＝(　　) A．－m　　　 B．1 C．m　　　 D. 解析：D　[由题意，根据导数的概念可得， ＝m· ＝mf′(x0)＝1，所以f′(x0)＝.] 3．已知函数f(x)＝ax＋4，若 ＝2，则实数a的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：A　[根据题意，知 ＝ ＝a＝2 .] 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1,1) B．(－1,1) C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8) 解析：C　[因为y＝x3，所以y′＝ ＝ [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．] 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线 B．函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1 D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0 解析：BD　[若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)点，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又 ＝－ ＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1,2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．] 6．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________. 解析：∵f ′(1)＝2，又＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a， ∴2a＝2， ∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2. 答案：2 7．(多空题)函数y＝在x＝x0(x0≠0)处的导数为________，在点________处的导数为. 解析：Δy＝－，＝＝， ＝，所以＝ .令＝，得x0＝1，此时y0＝＝1，即函数y＝在点(1,1)处的导数为. 答案：　(1,1) 8．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 解：∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2， ∴f ′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9 ＝32－9－≥－9－. 由题意知f ′(x)的最小值是－12， ∴－9－＝－12，即a2＝9.∵a＜0，∴a＝－3. [能力提升练] 9．函数f(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：B　[如图所示，f′(2)是函数f(x)的图象在x＝2(即点A)处切线的斜率k1，f′(3)是函数f(x)的图象在x＝3(即点B)处切线的斜率k2，＝f(3)－f(2)＝kAB是割线AB的斜率． 由图象知，0＜k2＜kAB＜k1，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．] 10．(多选)下列求导数运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x B.′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析：AD　[因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A、D正确．] 11．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. 解析：由题知y′＝(ex＋x)′＝ex＋1，当x＝0时，切线斜率k＝2， 则切线方程为y＝2x＋1，y′＝[ln(x＋1)＋a]′＝＝2，得x＝－，y＝2×＋1＝0，y＝ln(x＋1)＋a的切点， 即0＝ln＋a，故a＝ln 2. 答案：ln 2 12．利用导数的定义，求f(x)＝在x＝1处的导数f ′(1)． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－， ∴＝， ∴f′(1)＝ ＝ ＝ ＝. [素养培优练] 13．曲线f(x)＝x3－(x＞0)上一动点P(x0，f(x0))处的切线斜率的最小值为(　　) A. B．3 C．2 D．6 解析：C　[易得f(x)＝x3－(x＞0)的导数f′(x)＝3x2＋， ∴在该曲线上点(x0，f(x0))处切线斜率 k＝3x＋. 由函数的定义域知 x0＞0，∴k≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立． ∴k的最小值为2.] 14．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝ ＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.因为对于任意实数x，有f (x)≥0，则 所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$