4.4 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n·(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　) A．2k＋1 B．2k＋2 C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k 解析：C　[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．] 2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证(　　) A．n＝1　　　　　　　　 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 解析：C　[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．] 3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析：C　[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－.] 4．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n＋1)与f(n)之间的关系为(　　) A．f(n＋1)＝f(n)＋n B．f(n＋1)＝f(n)＋2n C．f(n＋1)＝f(n)＋n＋1 D．f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：B　[依题意得，由n个圆增加到n＋1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n＋1)＝f(n)＋2n.] 5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某学生利用数学归纳法证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：D　[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.] 6．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是　________. 解析：当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为(2k＋2)． 答案：2k＋2 7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________． 解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝. 答案：an＝ 8．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)． 证明：(1)①当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2 ＝(－1)k－1·. 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)· ＝(－1)k·. ∴当n＝k＋1时，等式也成立， 根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立． [能力提升练] 9．用数学归纳法证明： f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，f(k＋1)比f(k)共增加了(　　) A．1项 B．2k－1项 C．2k＋1项 D．2k项 解析：D　[由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k＋1时，最后一项为＝＝ 所以由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加的项为＋＋…＋，增加了2k项．] 10．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋＜1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是(　　) A．增加了这一项 B．增加了和两项 C．增加了和两项，同时减少了这一项 D．以上都不对 解析：C　[不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．] 11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立． 解析：假设当n＝k(k≥2且k为偶数)时，命题成立，即1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立．所以应证明当n＝k＋2时，等式也成立，故答案为k＋2. 答案：k＋2 12．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足(Sn－1)2＝anSn. (1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性． 解：(1)当n＝1时，(S1－1)2＝S，∴S1＝， 当n≥2时，(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn， ∴Sn＝， ∴S2＝，S3＝， 猜想Sn＝，n∈N*. (2)下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，S1＝，＝，猜想正确； ②假设n＝k时，猜想正确，即Sk＝， 那么当n＝k＋1时， 可得Sk＋1＝＝＝， 即n＝k＋1时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数n，Sn＝都成立． [素养培优练] 13．(多选)数列{an}满足an＋1＝－a＋an(n∈N*)，a1∈，则以下说法正确的为(　　) A．0＜an＋1＜an B．a＋a＋a＋…＋a＜a1 C．对任意正数b，都存在正整数m使得＋＋＋…＋＞b成立 D．an＜ 解析：ABCD　[an＋1＝－a＋an＝－(an－)2＋，若an∈，则an＋1∈，∴an＋1－an＝－a＜0，∴0＜an＋1＜an，A正确；由已知a＝an－an＋1， ∴a＋a＋…＋a＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)＝a1－an＋1＜a1，B正确； 由a1∈及①得＜1－an＜1,1＜＜2， ∴＋＋…＋＞n，显然对任意的正数b存在正整数m，使得m＞b，此时＋＋＋…＋＞b成立，C正确； 已知a1＜成立，假设an＜，则an＋1＝－a＋an＝－2＋＜－2＋，又－＋－＝－＜0，即－＋＜，∴an＋1＜，由数学归纳法思想得D正确．] 14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是__________________． 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1. 答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 学科网（北京）股份有限公司 $$