4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．－ C. D．2 解析：B　[∵a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.故选B.] 2．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：C　[由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.] 3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：C　[log3b1＋log3b2＋…＋log3b14＝log3(b1b2…b14)＝log3(b7b8)7＝7log33＝7.] 4．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为lg 2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为lg 2的等比数列 解析：A　[因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，所以an＝2×4n－1＝22n－1，log2an＝log222n－1＝2n－1.所以数列{log2an}是公差为2的等差数列，故选A.] 5．(多选)某工厂通过改进生产工艺，最终使某产品每个月的合格率都达到99%.该工厂于2024年12月份接到某企业的生产订单，从2025年1月开始生产该产品，第一个月产量为1万件，以后每个月的产量都在前一个月的基础上提高10%，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：1.112≈3.14) A．从2025年1月份开始每个月的产量成等差数列 B．从2025年1月份开始每个月的产量成等比数列 C．2025年全年每个月生产的不合格产品数都不会超过300 D．2025年全年中可能存在某个月生产的不合格产品数超过300 解析：BC　[由题意2025年第n个月的产量为an＝104×(1＋10%)n－1件，所以＝1.1，n∈N*， 所以从2025年1月份开始每个月的产量成等比数列，故A错误，B正确； 又函数y＝104×1.1n－1是增函数，n＝12时，产量为104×1.111件， 于是该月的不合格产品数为104×1.111×1%＝1.111×100＝×100≈285＜300. 所以2025年全年每个月生产的不合格产品数都不会超过300，故C正确，D错误．] 6．(多空题)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝　________　，d＝　________　. 解析：∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0　①.又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1　②.由①②解得a1＝，d＝－1. 答案：　－1 7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　________　平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048. 答案：2 048 8．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解：因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，将cn＝2n＋3n代入上式得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]·[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]，整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，解得p＝2或p＝3. [能力提升练] 9．2024年，嫦娥六号完成了人类历史上首次月球背面彩样和返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是(lg 2＝0.3，lg 3.8＝0.6)(　　) A．40 B．41 C．42 D．43 解析：C　[设对折n次时，纸的厚度为an，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，令an＝0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012，所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n lg 2≥0.6＋12，解得n≥＝42，所以至少对折的次数n是42，故选C.] 10．(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是真命题的有(　　) A.是公比为的等比数列 B．{a2n}是公比为4的等比数列 C．{2an}是公比为4的等比数列 D．{anan＋1}是公比为2的等比数列 解析：AB　[由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N*，an≠0，且公比为q＝＝2.对于A选项，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，B选项正确；对于C选项，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，C选项错误；对于D选项，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，D选项错误．故选AB.] 11．已知数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N*)，若ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，则k＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[因为数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N*)，所以取m＝1，则an＋1＝an·a1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，又ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，即2k＋1＋2k＋2＋2k＋3＋2k＋4＝480，即30×2k＝480，解得k＝4.] 12．等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11；②a3·a4＝；③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列．试求数列{an}的通项公式． 解：由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝，所以 解得或 当时，q＝2，所以an＝·2n－1，这时a2＋a4＋＝，2a＝，所以a2，a，a4＋成等差数列，故an＝·2n－1. 当时，q＝，an＝·26－n，a2＋a4＋≠2a，不符合题意，故通项公式为an＝·2n－1. [素养培优练] 13. (多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　) A．k不可能为0 B．“等差比数列”中的项不可能为0 C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” 解析：BCD　[∵当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，∴k≠0，故选项A正确；∵当an＝n－1时，＝＝1为常数， ∴数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD.] 14．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝　________　. 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则－＝0，可得＝，所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列．若正项数列为“梦想数列”，则＝，所以＝2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列．因为b1＋b2＋b3＝1，因此，b6＋b7＋b8＝25·(b1＋b2＋b3)＝32. 答案：32 学科网（北京）股份有限公司 $$