4.3.1 第1课时 等比数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．以下数列中，是等比数列的有(　　) ①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A.] 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.] 3．已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．5或40 解析：C　[由题知(a4－2)2＝a2a6，因为{an}为等差数列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，又d≠0，则d＝3，从而am－an＝(m－n)d＝30.故选C.] 4．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[∵an＝(n＋8)d，a＝a1·a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d， 解得k＝－2(舍去)或k＝4.] 5．(多选)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件的是(　　) A．an＋1＝an·q(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝an·an＋2≠0 D．an＋1＝ 解析：ABD　[对于A，an＋1＝an·q，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn－1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D，an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误．] 6．已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2－5x＋3的两个零点是a1，a5，则a3＝________. 解析：由韦达定理可知a1＋a5＝5，a1·a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a＝a1·a5＝3，∴a3＝. 答案： 7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________． 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10. 答案：80,40,20,10 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an. 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列． ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. [能力提升练] 9．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝(　　) A．607.5 B．608 C．607 D．159 解析：C　[∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1＝5×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.] 10．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22,40,85}中，则公比q的值可以是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：BD　[∵bn＝an＋4，∴an＝bn－4.∵数列{bn}有连续四项在集合{－50，－20,22,40,85}中，∴数列{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．又∵数列{an}是公比为q的等比数列，∴在集合{－54，－24,18,36,81}中，数列{an}的连续四项只能是－24,36，－54,81或81，－54，36，－24，∴q＝＝－或q＝＝－，故选BD.] 11．已知某等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－是此数列的第________项． 解析：由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，舍去，∴x＝－4.此时，2x＋2＝－6,3x＋3＝－9，∴该等比数列的首项为－4，公比为.设－为此数列的第n项，则－4×n－1＝－，解得n＝4. 答案：4 12．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝. (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式； (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． (1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝. 又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，∴数列{an}是以为公比的等比数列，∴an＝a1·qn－1＝a1·n－1，∴a2＝a1·2－1＝a1，a5＝a1·5－1＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝，∴a＝.又∵a1＜0，∴a1＝－. ∴an＝×n－1＝－n－2(n∈N*)． (2)解：令an＝－n－2＝－，则n－2＝4，n＝6∈N*，∴－是这个等比数列中的项，且是第6项． [素养培优练] 13．(多选)关于递增等比数列{an}，下列说法不正确的是(　　) A．a1＞0 B．q＞1 C.＜1 D．当a1＞0时，q＞1 解析：ABC　[由题意，设数列{an}的公比为q，因为an＝a1qn－1，得an＋1－an＝a1qn－1(q－1)＞0，当a1＞0时，q＞1，此时0＜＜1，当a1＜0时，0＜q＜1，＞1，故不正确的是ABC.] 14．(多选)已知a1，a2，a3，a4，依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是(　　) A. B. C. D. 解析：AB　[因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4，设等差数列的公差为d.①若删去a2，则有2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，即2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)，因为q≠1，所以q2＝q＋1.因为q＞0，所以解得q＝.②若删去a3，则2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，即2q＝1＋q3，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1，因为q≠1，所以q(q＋1)＝1.因为q＞0，所以解得q＝.综上q＝或q＝，故选AB.] 学科网（北京）股份有限公司 $$