4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝(　　) A．7　　　 B．11 C．9　　　　 D．18 解析：C　[设等差数列的性质可知a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.故选C.] 2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.又d≠0，∴m＝8.] 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 解析：D　[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第二月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 解析：B　[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.] 5．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：ABD　[由题意得插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)．因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*， 当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1,3,7，故选ABD.] 6．在等差数列{an}中，a1＋a9＝4，那么a2＋a3＋…＋a8＝________. 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＋a9＝4，根据等差数列的性质，可得a1＋a9＝2a5＝4，解得a5＝2，则a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝7×2＝14. 答案：14 7．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？” 意思是：“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的质量为________斤． 解析：由题意可知金锤每尺的质量成等差数列，设细的一端的质量为a1，粗的一端的质量为a5，可知a1＝2，a5＝4，根据等差数列的性质可知，a1＋a5＝2a3＝6⇒a3＝3，中间三尺的质量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)． 答案：9 8．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a23的值． 解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4.又由a3a8a13＝28，则有a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，解得d＝±，当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝，当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝. (2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，当d＝－时，an＝，则a23＝＝－5，则a23＝13或－5. [能力提升练] 9．已知等差数列{an}，a2＝2，a4＝8，若abn＝3n－1，则b2 025＝(　　) A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026 解析：D　[由a2＝2，a4＝8，得数列{an}的公差d＝＝3，所以an＝2＋(n－2)×3＝3n－4，所以an＋1＝3n－1.又数列{an}的公差不为0，所以数列{an}为单调数列，所以结合abn＝3n－1，可得bn＝n＋1，故b2 025＝2 026.] 10．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋2n，则a10＝(　　) A．524 B．526 C．1 024 D．1 026 解析：C　[由an＋1＝an＋2n，得an＋1－an＝2n， 则an＝an－1＝2n－1，……，a2－a1＝2，将以上各式相加得an－a1＝＝2n－2，又a1＝2，所以an＝2n，所以a10＝1 024.] 11．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100＝　________. 解析：由题意函数y＝f(x－2)的图象关于x＝1对称，则函数f(x)的图象关于x＝－1对称，且在(－1，＋∞)上单调，因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2. 答案：－2 12．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12.a2＋a10＝7. (1)求通项公式an. (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N*，恒有b2n＝2bn，求t的值．对一切k，n∈N*是否恒有bkn＝kbn？请说明理由． 解：(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，又∵a5a7＝12， ∴或当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋. (2)bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋， ∴n＋t＋＝n＋2t＋1.∴t＝－，∴bn＝n. ∵bkn＝kn＝kbn，∴恒有bkn＝kbn. [素养培优练] 13．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 解析：D　[由等差数列的性质可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，故选D.] 14．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．现有这样一个整除问题：将1至2 024这2 024个整数中能被2除余1且被3除余2的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列{an}．设bn＝()an，则＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 解析：A　[被2除余1且被3除余2的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列{an}， 则数列{an}是一个以5为首项，以6为公差的等差数列； 所以an＝5＋(n－1)·6＝6n－1，(1≤n≤337，n∈N*)， 故bn＝()an＝()6n－1； ∴＝＝()6＝8.] 学科网（北京）股份有限公司 $$