4.2.1 第1课时 等差数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　) A．50　　　　　　　　　 B．51 C．52 D．53 解析：D　[依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝. 所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.] 2．在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝(　　) A．7 B．9 C．14 D．18 解析：B　[因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.] 3．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A．a8 B．a9 C．a10 D．a11 解析：B　[|an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|＝9，∴n＝9时，|an|最小．] 4．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a19＝(　　) A．0 B. C. D．2 解析：A　[因为a3＝2，a7＝1，故＝，＝，所以＝＋×16＝＋＝1，故a19＝0，故选A.] 5．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若S5＝S9，则必有S14＝0 B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 D．若S6＞S7，则必有S5＞S6 解析：ABC　[对于A，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝＝＝0，A正确； 对于B，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确； 对于C，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8－S7＜0，必有S7＞S8，C正确； 对于D，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误．故选ABC.] 6．若一个等差数列的前三项为a,2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________________． 解析：∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝. ∴这个等差数列的前三项依次为，，，∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1(n∈N*)． 答案：an＝＋1(n∈N*) 7．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为________． 解析：由题意，数列{an}满足2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝，又由a1＝2，所以数列{an}首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52. 答案：52 8．数列{an}的通项公式是an＝5n＋4. (1)求证：{an}是等差数列，并求出其公差； (2)判断104、110是否是数列{an}中的项，如果是，是第几项？ 解：(1)∵an＝5n＋4，则an＋1＝5(n＋1)＋4＝5n＋9，∴an＋1－an＝(5n＋9)－(5n＋4)＝5，∴数列{an}是等差数列，且公差为5. (2)令an＝104，即5n＋4＝104，解得n＝20；令an＝110，即5n＋4＝110，解得n＝.∴104是该数列的第20项，110不是该数列中的项． [能力提升练] 9．(多选)给出下列命题，正确命题的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数) D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列 解析：BCD　[对于A项，根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；对于B项，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；对于C项，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以C正确；对于D项，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列．] 10．(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d＞0，a3＝2，则(　　) A．a2·a4＜4 B．a＋a4≥ C.＋＞1 D．a1·a5＞a2·a4 解析：ABC　[由题知，只需⇒0＜d＜1，a2·a4＝(2－d)·(2＋d)＝4－d2＜4，A正确；a＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6≥，B正确；＋＝＋＝＞1，C正确；a1·a5－a2·a4＝(2－2d)·(2＋2d)－(2－d)·(2＋d)＝－3d2＜0，所以a1·a5＜a2·a4，D错误．] 11．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为________． 解析：∵＝＋(n∈N*)，∴数列是等差数列．又－＝2－1＝1，∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝. 答案：an＝ 12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． (1)证明：根据题意a1＝及递推关系得an≠0.因为an＝，取倒数得＝＋4，即－＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列． (2)解：由(1)得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，an＝. 又a1a2＝×＝＝，解得n＝11. 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项． [素养培优练] 13．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5　 D．14.5 解析：C　[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，两式相减得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C.] 14．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是　________　. 解析：由题意可得，第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n＋1)项为n＋n·n＝n2＋n.所以题表中的第n行第(n＋1)列的数是n2＋n. 答案：n2＋n 学科网（北京）股份有限公司 $$