5.3.1 第1课时 函数的单调性与导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 第1课时　函数的单调性与导数 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 竖直向下抛一乒乓球，乒乓球的高度h是时间t的函数，横轴表示时间t，纵轴表示乒乓球的高度h，观察乒乓球竖直向上的瞬时速度(只考虑其正负)和球的高度变化趋势(上升/下降)，你能得到什么规律？ 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正． [知识梳理] [知识点一]　函数单调性与其导数正负的关系　 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内， 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调　递增　 f′(x)＜0 单调　递减　 f′(x)＝0 常数函数 如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常数函数． [知识点二]　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系　 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化　 函数的图象 越大 　快　 比较“　陡峭　”(向上或向下) 越小 　慢　 比较“　平缓　”(向上或向下) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f (x)在区间(a，b)上恒有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　) 解析：D　[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.] 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析：∵f(x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0，得ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 　　　导数与函数图象的关系 [例1]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) [解析]　由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确． [答案]　D 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [变式训练] 1．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 解析：D　[A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．] 　　　判断或证明函数的单调性 [例2]　(1)函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 [解析]　∵f (x)＝2x－sin x， ∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数． [答案]　A (2)求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． [证明]　∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x＞0，e2x＞1， ∴f′(x)＞0，因此函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 利用导数证明或判断函数单调性的思路 [变式训练] 2．利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3＋3x； (2)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π); (3)f(x)＝. 解：(1) 因为f(x)＝x3＋3x, 所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0， 所以函数f(x)＝x3＋3x在R上单调递增． (2) 因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)， 所以f′(x)＝cos x－1＜0， 所以f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减． (3) 因为f(x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f′(x)＝＞0， 所以函数f(x)＝1－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． 　　　求函数的单调区间 [例3]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋. [解]　 (1)函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝， x2＝－(舍去)， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)函数的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x ＝e－x(2x－x2)， 令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) ↘ ↗ ↘ ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． [变式训练] 3．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． [当堂达标] 1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 解析：C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上是增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.] 2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是(　　) A．y＝x4 B．y＝2－x C．y＝x＋cos x D． 解析：C　[对于A选项，函数y＝x4为偶函数，在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减；对于B选项，函数y＝2－x在R上递减；对于C选项，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，则函数y＝x＋cos x在其定义域R上递增；对于D选项，函数在(0，＋∞)上递减．故选C.] 3．若函数f(x)＝sin x－x，则函数f(x)在区间(0，π)上的单调增区间为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[f′(x)＝cos x－，由f′(x)＞0，得cos x＞，在区间(0，π)上，当0＜x＜时，满足cos x＞.] 4．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间． 解：f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$