5.1.2 导数的概念及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 课程标准 素养解读 1.了解导数概念的实际背景，体会极限思想． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 2．通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养. [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． [知识梳理] [知识点一]　函数的平均变化率的定义　 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应的函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx )－f(x0)，我们把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 1.平均变化率的几何意义是什么？ [提示]　设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示． [知识点二]　函数在某点处的导数(瞬时变化率)　 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ . [知识点三]　函数在某点处的导数的几何意义　 1．切线：如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义：割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝　　＝　f′(x0)　. 2.曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ [提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． [知识点四]　导函数的定义　 当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝ y′＝ . 3.f′(x0)与f′(x)有什么区别？ [提示]　f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．] 3．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________． 解析：f′(6)＝ ＝ ＝0. 答案：0 　　　求函数在一点处的导数 [例1]　(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．－ D. (2)求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数． [思路点拨]　(1)类比f′(x0)＝ 求解． (2) (1)[解析]　∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－，故选C. [答案]　C (2)[解]　∵Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴f′(1)＝ ＝ ＝2. 求函数y＝f(x)在x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限． [变式训练] 1．已知f′(1)＝－2，则 ＝　________. 解析：∵f′(1)＝－2，∴ ＝ ＝－2 ＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. 答案：4 2．求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. 　　　实际问题中的瞬时变化率问题 [例2]　枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解]　位移公式为s＝at2， ∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， ∴＝at0＋aΔt， ∴ ＝ ＝at0. 将a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s代入得at0＝800 m/s. ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0. [变式训练] 3．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)， (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T′(5)＝ ＝－1.2， 它表示t＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 　　　利用导数的几何意义求曲线的切线方程 [例3]　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． [思路点拨]　(1)求y′|x＝1→求切点→用点斜式方程求切线 [解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． y′|x＝1＝ ＝ ＝ [3＋3Δx＋Δx2]＝3. ∴k＝y′|x＝1＝3. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知，由题意可知，即＝3x， 又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0， 解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. [母题变式] 第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ [解]　由y＝3x－2，y＝x3， 解得x＝1，y＝1，或x＝－2，y＝－8， 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [变式训练] 4．已知曲线y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程． 解：y′＝ ＝＝ (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)，即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)． 将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)， 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. [当堂达标] 1．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是(　　) A．2　　 B．3 C．4　　　D．5 解析：B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3.] 2．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：AB　[f′(x0)＝ ＝ ＝ [3x＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x＋1＝4， 解得x0＝±1.] 3．设函数f(x)在x＝1处存在导数，其值为2，则 ＝________. 解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 ＝ ＝×f′(1)＝. 答案： 4．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)， 求：(1)；(2)f ′(1)． 解：(1)＝＝ ＝2＋Δx. (2)f ′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$