4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用． 3．能用分组转化方法求数列的和. 1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养． 2．借助分组求和，培养学生的数学运算素养. 　　　等比数列前n项和在几何图形中的应用 [例1]　如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ [思路点拨]　可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． [解]　设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…， 则a1＝25， 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以ak＋1＝ak， 因此{an}是以25为首项，为公比的等比数列． 设{an}的前n项和为Sn， (1)S10＝＝50×＝， 所以，前10个正方形的面积之和为cm2. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…， 而Sn＝＝50×， 随着n的无限增大，n将趋近于0，Sn将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [变式训练] 1．把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去，则 (1)图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.(1)故图③中共挖掉了＝73个正方形； (2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n. 答案：(1)73　(2)　1－n 　　　等比数列前n项和在实际问题中的应用 [例2]　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)． [思路点拨]　由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算． [解]　设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n， Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…6＋1.5n) ＝－(7.5＋6＋1.5n)＝420×1.05n－n2－n－420当n＝5时，S5≈63.5， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨． 解决数列应用题时 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． [变式训练] 2．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入． 解：由题意，知第1年投入800万元， 第2年投入800×万元， …， 第n年投入800×n－1万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列． 所以n年内的总投入 Sn＝800＋800×＋…＋800×n－1 ＝4 000×(万元)． 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为400×万元， …， 第n年旅游业的收入为400×n－1万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400， 公比为的等比数列． 所以n年内旅游业的总收入 Tn＝400＋400×＋…＋400×n－1 ＝1 600×(万元)． 故n年内的总投入为4 000×万元， n年内旅游业的总收入为1 600×万元． 　 　　分组求和法 [例3]　已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. [思路点拨]　通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了． [解]　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋＋2＋…＋n－1＝. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝＋＋…＋ ＝n－＝(2n－1)＋n－1. 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 [变式训练] 3．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn. 解：Sn＝2＋4＋6＋…＋ ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋ ＝＋ ＝n(n＋1)＋－. [当堂达标] 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏　　　　　　 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.] 2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于　________. 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 答案：6 3．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为________. 解析：通项an＝＋＋…＋＝ ＝1－， ∴前n项和Sn＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋. 答案：n－1＋ 4．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2024年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2024年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1. (2)10年的出口总量S10＝ ＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤， ∴a≤12.3. 故2024年最多出口12.3吨． 学科网（北京）股份有限公司 $$