5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 课程标准 素养解读 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 2．体会导数与单调性、最大(小)值的关系. 1.在求函数最值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．在研究导数、单调性、最值的关系中提升数学抽象和逻辑推理的核心素养. [情境引入] 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数y＝f(x)的极大(小)值点，那么在x＝x0附近找不到比f (x0)更大(小)的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，为此我们这节课就来学习函数的最值问题． [知识梳理] [知识点一]　函数f(x)在区间[a，b]上的最值　 1．取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　连续不断　的曲线． 2．结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在　极值点　或　区间端点　取得． 　函数的极值与最值的区别是什么？ [提示]　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． [知识点二]　求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤　 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. 2．将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的函数值　f(a)，f(b)　进行比较，其中最大的一个是　最大值　，最小的一个是　最小值　. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)闭区间上的连续函数一定有最值．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得．(　　) (4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．无最值　　　　　 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 解析：A　[因为f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．] 3．函数y＝在[0,2]上的最大值为________． 解析：∵y′＝＝， 令y′＝0，得x＝1∈[0,2]． ∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝. ∴f(x)max＝f(1)＝. 答案： 　　　求函数在闭区间上的最值 [例1]　求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． [解]　(1)∵f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]， ∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 3  极大值10  极小值－22  －15 由表格可以看出：函数y＝f(x)的最大值为f(－1)＝10，最小值为f(3)＝－22. (2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－. 当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. 导数法求函数最值要注意的问题 (1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值． [变式训练] 1．(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　) A．72　　 B．36 C．12　　　 D．0 解析：D　[因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x＜1时，y′＜0，函数单调递减；当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.也是最小值．] (2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 解析：B　[f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，e)时，f′(x)＜0，∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1.] 　　　含参数的函数最值 [例2]　a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． [解]　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0. 若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±. ∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况． (1)若0＜＜1，即0＜a＜1， 则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示) x 0 (0，) (，1) 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1 (2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值 f(1)＝3a－1. 综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0； 当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a； 当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1. 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． [变式训练] 2．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值． 解：f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a； ②当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0； ③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增，从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 　　　已知函数的最值求参数 [例3]　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． [解]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当a＞0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. (2)当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． [变式训练] 3．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 解析：f′(x)＝＝，当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当－＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝＜1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. 答案：－1 [当堂达标] 1．下列结论正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 解析：D　[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．] 2．函数f(x)＝2x3－6x2－18x－7在[1,4]上的最小值为(　　) A．－64 B．－51 C．－56　 D．－61 解析：D　[f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，f(3)＝－61，f(1)＝－29，f(4)＝－47.所以所求的最小值为－61.] 3．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a＝________. 解析：当a≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上是减函数，此时f(a)最大，所以－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去)． 答案：－ 4．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)求导数f′(x)； (2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值． 解：(1)由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， ∴f′(x)＝3x2－2ax－4. (2)由f′(－1)＝0，得a＝， 此时有f(x)＝(x2－4)·， f′(x)＝3x2－x－4. 由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1. 又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0， f(2)＝0， ∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$