4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 课程标准 素养解读 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和逻辑推理的核心素养． 2．在运用等比数列性质解题过程中提升数学运算的核心素养. [知识梳理] [知识点一]　推广的等比数列的通项公式　 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝　a1qn－1　，an＝　am·qn－m　(m，n∈N*)． [知识点二]　“子数列”性质　 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为　等比数列　，首项为　ak＋1　，公比为　q　；若取出所有的k的倍数项组成的数列仍为　等比数列　，首项为　ak　，公比为　qk　. 1.如何推导an＝amqn－m? [提示]　由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m. [知识点三]　等比数列项的运算性质　 ①在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝　ap·aq　.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的　积　，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. [知识点四]　两等比数列合成数列的性质　 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为　等比数列　. 2.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是________． (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列； (3)是等比数列； (4){a2n}是等比数列． [提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　) (2)当q＞1时，{an}为递增数列．(　　) (3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：C　[∵a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.] 3．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或. 又0＜q＜1，∴q＝. 答案： 　　　等比数列的性质及应用 [例1]　(1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________. (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝______. [解析]　(1)因为a3a5＝a＝4，又an＞0，所以a4＝2，所以a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a·a4＝a＝27＝128. (2)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. [答案]　(1)128　(2)－(－2)n－1 等比数列的运算 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am·an＝ak·al＝a. [变式训练] 1．等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　) A．32　　　　　　 B．64 C．128 D．256 解析：B　[由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64.] 2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．4 B．6 C．7 D．5 解析：D　[∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.] 　　　等比数列的应用问题 [例2]　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10×(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1. 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)． 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． 1．等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． 2．解决应用题的步骤是 [变式训练] 3．某制糖厂2024年制糖5万吨，如果从2024年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 解：记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85.故n＝11. 即从2035年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 　　　由递推公式转化为等比数列求通项 [例3]　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． [思路点拨]　(1)把n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得a1；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明． [解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3. (2)证明：因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即an＝2an－1－1， 所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列． [母题变式] 将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式． [证明]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. ＝＝＝＝2. 所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 所以bn＝3×2n－1. 1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解． 2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}． [变式训练] 4．已知a1＝1，a＝2a＋anan＋1，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式． 解：由已知，得a－anan＋1－2a＝0， 所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)当an＋1－2an＝0时，＝2. 又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以an＝2n－1. (2)当an＋1＋an＝0时，＝－1， 又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列， 所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1. 综上：an＝2n－1或an＝(－1)n－1. [当堂达标] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是(　　) A．{|an|} B．{an－an＋1} C. D．{kan} 解析：AC　[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an－an＋1}不是等比数列；当k＝0时，数列{kan}不是等比数列，而{|an|}和一定是等比数列．] 2．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数R0＝3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为(　　) 注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染人为第二轮感染． A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[设经过第n轮传染，感染人数为an, 经过第一轮感染后，a1＝1＋3＝4，经过第二轮感染后，a2＝4＋4×3＝16，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第n轮传染，感染人数为an＝4n，当an≥2 000时，解得n≥6，因此感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为6轮．] 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝　________　. 解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝log3(a)＝log3(95)＝log3(310)＝10. 答案：10 4．已知数列{an}为等比数列． (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. 解：(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. 当a1＝3时，q＝＝2，an＝3×2n－1； 当a1＝12时，q＝，an＝12×n－1. (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $$