4.3.1 第1课时 等比数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： 9,92,93，…，910　　　　　① 100,1002,1003，…，10010 ② 5,52,53，…，510 ③ 2．《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ，，，，，… ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64，… ⑤ 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [知识点一]　等比数列的概念　 1．等比数列概念 一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比　都等于　同一　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]　不能 2．等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式是________． 答案：G2＝ab 2.当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． [知识点二]　等比数列的通项公式　 1. 等比数列的通项公式 以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式an＝　a1qn－1　. 2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的　孤立　点． 3.除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示]　还可以用累乘法． 当n＞2时，＝q，＝q，…，＝q， ∴an＝a1···…··＝a1·qn－1. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：C　[由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16.] 3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝________. 解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q＞0，解得q＝3. 答案：3 　　　等比数列的通项公式及应用 [例1]　在等比数列{an}中， (1)已知a1＝4，q＝－2，求a5； (2)已知a2＝10，a5＝80，求an. [解]　(1)由等比数列的通项公式，得a5＝4×(－2)5－1＝64. (2)设等比数列的公比为q，那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [变式训练] 1．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，求{an}的通项公式． 解：设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1， 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2， 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. 　 　　等比、等差数列的简单综合 [例2]　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列． [解]　设前三项的公比为q ，后三项的公差为d，则数列的各项依次为， ,80,80＋d, 80＋2d，于是得解方程组， 得或 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，－48. 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，，aq，aq3. [变式训练] 2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解法1：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 于是得解方程组，得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法2：设这四个数依次为－a，，a，aq, 于是得 解方程组，得或 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 　　　等比数列的判断与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列． [思路点拨]　①如何由求和公式得通项公式？ ②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)． 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题变式] 1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an) ＝an－an＋1， ∴an＋1＝an. 又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝，∴{an}是等比数列． 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝anan＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [变式训练] 3. 在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：方法一　定义法　∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 方法二　等比中项法　∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列． [当堂达标] 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 解析：ABD　[根据等比数列的定义可知，AB显然是错误的；对D，当b＝a＝0，c≠0时，虽有b2＝ac，但a，b，c不成等比数列；对C，根据等比数列的定义可知正确．] 2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　　　　 B．a≠0且a≠1 C．a≠0 D．a≠0或a≠1 解析：B　[由a1≠0，q≠0，得a≠0,1－a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝________. 解析：由题意，知a＝＝，即b2＝(－1)×(－16)，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：±6 4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意，得an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝3－n. 而＝＝－1＝2. 又b1＝3－1＝， ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$