4.2.1 第1课时 等差数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列， 建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的概念　 1．等差数列概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个　常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个　常数　叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母　d　表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． [知识点二]　等差中项　 1．条件：如果a，A，b成等差数列． 2．结论：那么A叫做a与b的等差中项． 3．满足的关系式是　2A＝a＋b　. 1.在所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0. [提示]　插入的数分别为3,2，，0. [知识点三]　等差数列的通项公式　 1．以首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 2.由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？ [提示]　只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可． 2．从函数角度认识等差数列{an}． 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(　　) (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．(　　) (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (6)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案：(1) ×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________． 解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C.又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.] 答案：60° 　　　等差数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解]　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [变式训练] 1．判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，… 解：由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列． 　　　等差中项 [例2]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [变式训练] 2．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列， 所以解得 答案：5　－1　－4 3．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列为等差数列，则a5＝________. 解析：由数列为等差数列，则有＋＝，可解得a5＝. 答案： 　　　等差数列的通项公式及其应用 [例3]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值． [思路点拨]　设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解． [解]　(1)∵a4＝7，a10＝25， 则解得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5(n∈N*)． (2)法一：(方程组法)由 得解得 ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d， 即－＝＋4d，解得d＝－， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. 1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [变式训练] 4．在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43 因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d，则 解得 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n， 所以a10＝13－10＝3. 　　　根据递推公式判定与证明等差数列 [例4]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. [思路点拨]　①要判断数列是否为等差数列，需要先求－的表达式， ②求出数列的通项公式． [解]　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋， ∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝. [母题变式] 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n＞1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝＝. 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2. 2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否为等差数列． [解]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠， 故数列{an}不是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． [变式训练] 5．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 024. 解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)， ∴＝＝＋， ∴－＝(n≥2且n∈N*)， ∴是公差为的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝， ∴＝＝，∴x2 024＝. [当堂达标] 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 解析：A　[设{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.] 3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________． 解析：＝＝＝. 答案： 4．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由． 解：因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数)．又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$