4.1 第1课时 数列的概念与简单表示方法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示方法 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法． 2．了解数列是一种特殊函数. 通过数列概念及数列与函数的关系，以及通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列. 那么什么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点一]　数列的有关概念 1．数列相关概念 一般地，我们把按照　确定的顺序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列的第一个位置上的数叫做　首项　，常用符号　a1　表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　an　表示． 数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的　第1项(或首项)　，　第2项　，…，　第n项　，…. 2．数列的表示 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}　. 3．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：通项公式、　列表法　、　图象法　. 1. (1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？ [提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数． (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． [知识点二]　数列的单调性 　 递增数列 从第2项起，每一项都　大于　它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都　小于　它的前一项的数列 常数列 各项都　相等　的数列 [知识点三]　数列与函数　 　数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2.数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ [提示]　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． [知识点四]　数列的通项公式　 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的　通项　公式． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　) (2)数列的项不能相等．(　　) (3)数列可以用图形表示．(　　) (4)数列的通项公式不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知an＋1－an＝0，n∈N*，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　 B．递减数列　 C．常数列 D．不能确定 解析：C　[an＋1＝an，n∈N*，即数列的各项相同，故数列{an}是常数列．] 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝________. 解析：2　[a2＝2×22－3×2＝2.] 　　　数列的概念及分类 [例1]　已知下列数列： ①2 020,2 021,2 022,2 023,2 024,2 025； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号) [解析]　①为有穷、递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④为无穷、摆动数列，也是周期为4的周期数列；⑤为无穷递增数列；⑥为有穷、常数列． [答案]　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④ 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性)； (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限． [变式训练] 1．(1)(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的项数是无限的 解析：BC　[对于A，因为数列的项是有顺序的，因此两个数列是不同的数列，故A是错误的；对于B，由数列和函数的关系可知是正确的；对于C，由数列的表示可知正确；对于D，由于数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故D错误．] (2)给出下列数列： ①2017～2024年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180； ②无穷多个构成数列， ， ， ，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是　________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________． 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列． 答案：①　②③　①　②　③ 　　　由数列的前几项写通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数． (1)1，2，3，4，…； (2)11,102,1 003,10 004，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)，2，，8，. [思路点拨]　①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？ [解]　(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋＝. (2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1 000＋3,10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n. (3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1. (4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即，，，，，…，所以它的一个通项公式是an＝. 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [变式训练] 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1,11,111,1 111，…. 解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)． (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)． (3)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N*)． 　　　数列通项公式的应用 [例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ [思路点拨]　(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断． [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． [母题探究] 若本例中的条件不变， (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ [解]　(1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是该数列的第10项． 1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，3，…，n})这一约束条件． [变式训练] 3．数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)若0是{an}中的第n项，则＝0， 因为n∈N*，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项相等． [当堂达标] 1．下列各项表示数列的是(　　) A．　△，　○，　☆，　□ B．2 008，　2 009，　2 010, …， 2 024 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. a＋b，　a－b，　ab，　λ a 解析：B　[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．] 2．(多选)下列命题错误的是(　　) A．数列，，，，…的一个通项公式是an＝ B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列 D．数列，，…，是递增数列 解析：ACD　[由通项公式知a1＝，A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D不正确．] 3．已知数列，，，，…，则5是该数列的第__________项. 解析：观察可得数列的一个通项公式是an＝，而5＝＝，所以5是该数列的第19项． 答案：19 4．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 解：设f(n)＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解，∴不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝＝＝1－， 又n∈N*，∴0＜＜1，∴0＜an＜1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 学科网（北京）股份有限公司 $$