5.3.2 第1课时 函数的极值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．体会导数与单调性、极值的关系. 1.在学习函数极值概念的过程中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在求函数极值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 请学生们观察庐山连绵起伏的图片，并思考“山势有什么特点”？这些山高低起伏，形成了很多的“峰点”与“谷点”．诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，也描绘了庐山的连绵起伏的景象，这些“峰点”与“谷点”就是数学上研究的函数的极值． [知识梳理] [知识点一]　极值点与极值　 1．极小值点与极小值 (1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值　都小　，f′(a)＝　0　. (2)导数符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)　＜0　，右侧f′(x)　＞0　. (3)结论：　点a　叫做函数y＝f(x)的极小值点，　f(a)　叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 (1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值　都大　，f′(b)＝　0　. (2)导数符号：在点x＝b的左侧f′(x)　＞0　，右侧f′(x)　＜0　. (3)结论：　点b　叫做函数y＝f(x)的极大值点，　f(b)　叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极值的定义 (1)　极大值　与　极小值　统称为极值． (2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的　大小情况　，刻画的是函数的　局部性质　. 1.函数的极大值一定大于极小值吗？ [提示]　函数的极大值不一定大于极小值． 2．导数为0的点一定是极值点吗？ [提示]　不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反． [知识点二]　求可导函数f(x)的极值的步骤　 1．确定函数的定义区间，求导数f′(x)． 2．求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根． 3．利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值．(　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．(　　) (4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析：C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．] 3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为______． 解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x＝2时，f(x)取得极小值． 答案：2 　　　求函数的极值 [例1]　求下列函数的极值点和极值． (1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝eq \f(3,x)＋3ln x； (3)f(x)＝x2e－x. [解]　(1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x＋3的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3. 令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1. 当x变化时，f′(x)变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值eq \f(14,3) 递减 极小值－6 递增 因此当x＝－1时，f(x)有极大值，f(－1)＝eq \f(14,3)， 当x＝3时，f(x)有极小值，f(3)＝－6. (2)函数f(x)＝eq \f(3,x)＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－eq \f(3,x2)＋eq \f(3,x)＝eq \f(3x－1,x2)， 令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 递减 极小值3 递增 因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3. (3)函数的定义域为R. f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减 0 递增 4e－2 递减 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0； 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝eq \f(4,e2). 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． [变式训练] 1．求下列函数的极值： (1)f(x)＝(x2－1)3＋1； (2)y＝eq \f(x3－2,2x－12). 解：(1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2. 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 － 0 ＋ 0 ＋ f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x＝0时，f(x)有极小值，f(x)极小值＝0.没有极大值． (2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝eq \f(x－22x＋1,2x－13)， 令y′＝0，得x＝－1或x＝2， ∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1,2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y ↗ －eq \f(3,8) ↘ ↗ 3  故当x＝－1时，y有极大值－eq \f(3,8)，没有极小值． 含参数的函数求极值 [例2]　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠eq \f(2,3)时，求函数的极值． [思路点拨]　 [解]　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2. 由a≠eq \f(2,3)，知－2a≠a－2. 以下分两种情况讨论： 若a＞eq \f(2,3)，则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数． ∴函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a；函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. 若a＜eq \f(2,3)，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数． ∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 求含参数的函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)； (3)对参数分类讨论判定函数的单调性，判定有无极值点，若有，求出全部的根x0； (4)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值． [变式训练] 2．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x). (1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值． (2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a. 当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0. ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－aln a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 由极值求参数的值或取值范围 [例3]　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． [思路点拨]　 (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件； (2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根． (1)[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1＝10，,f′1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a＋b＝9，,2a＋b＝－3，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝3.)) 但当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝3))，不符合题意，应舍去． 而当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，－11. [答案]　4　－11 (2)[解]　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝m＋32－4m＋6＞0，,f′1＝1－m＋3＋m＋6＞0，,\f(m＋3,2)＞1，))解得m＞3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． [变式训练] 3．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值． 解：∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0， ∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6. (1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由f′(x)＞0，得x＜eq \f(2,3)或x＞2； 由f′(x)＜0，得eq \f(2,3)＜x＜2. ∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去． (2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f′(x)＞0，得x＜2或x＞6；由f′(x)＜0，得2＜x＜6. ∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32. 即函数f(x)的极大值为32. 函数极值的综合问题 [例4]　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． [思路点拨]　求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围． [解]　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0. 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋a＞0，,－2＋a＜0，)) 解得－2＜a＜2，故实数a的取值范围是(－2,2)． 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． [变式训练] 4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b， 所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2a,3))). 当a＝0时，f′(x)＝－3x2≤0，函数f(x)没有单调递增区间； 当a＞0时，令f′(x)＞0，即－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2a,3)))＞0，解得0＜x＜eq \f(2a,3)， 故函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))； 当a＜0时，令f′(x)＞0，即－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2a,3)))＞0，解得eq \f(2a,3)＜x＜0， 故函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，0)). (2)由(1)知，a∈[3,4]时，函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))， 单调递减区间为(－∞，0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，＋∞)). 所以f(x)极大值＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))＝eq \f(4a3,27)＋b，f(x)极小值＝f(0)＝b. 由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx极大值＞0，,fx极小值＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4a3,27)＋b＞0，,b＜0，)) 解得－eq \f(4a3,27)＜b＜0. 因为对任意a∈[3,4]，b＞－eq \f(4a3,27)恒成立， 所以b＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4a3,27)))max＝－eq \f(4×33,27)＝－4. 所以实数b的取值范围为(－4,0)． [当堂达标] 1．(多选)下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是(　　) A．y＝x3　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x 解析：BC　[AD为单调函数，不存在极值．] 2．设函数f (x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f (x)的极大值点 B．x＝1为f (x)的极小值点 C．x＝－1为f (x)的极大值点 D．x＝－1为f (x)的极小值点 解析：D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．] 3．若函数f(x)＝eq \f(ex,x)在x＝a处有极小值，则实数a等于________． 解析：由函数f(x)＝eq \f(ex,x)在x＝a处有极小值，知x＝a是极值点，所以f′(a)＝0，由f′(x)＝eq \f(exx－ex,x2)，代入a，解得a＝1. 答案：1 4．求函数y＝x＋eq \f(1,x)的极值． 解：y′＝1－eq \f(1,x2)＝eq \f(x2－1,x2)，令y′＝0，解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － － 0 ＋ y 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当x＝－1时，y极大值＝－2；当x＝1时，y极小值＝2. $$