5.3.1 第1课时 函数的单调性与导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 第1课时　函数的单调性与导数 第五章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 竖直向下抛一乒乓球，乒乓球的高度h是时间t的函数，横轴表示时间t，纵轴表示乒乓球的高度h，观察乒乓球竖直向上的瞬时速度(只考虑其正负)和球的高度变化趋势(上升/下降)，你能得到什么规律？ 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正． [知识梳理] [知识点一]　函数单调性与其导数正负的关系　 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内， 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调　递增　 f′(x)＜0 单调　递减　 f′(x)＝0 常数函数 如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常数函数． [知识点二]　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系　 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化　 函数的图象 越大 　快　 比较“　陡峭　”(向上或向下) 越小 　慢　 比较“　平缓　”(向上或向下) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f (x)在区间(a，b)上恒有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　) 解析：D　[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.] 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析：∵f(x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0，得ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 导数与函数图象的关系 [例1]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) [解析]　由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确． [答案]　D 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [变式训练] 1．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 解析：D　[A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．] 判断或证明函数的单调性 [例2]　(1)函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 [解析]　∵f (x)＝2x－sin x， ∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数． [答案]　A (2)求证：f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数． [证明]　∵f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x＞0，e2x＞1， ∴f′(x)＞0，因此函数f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数． 利用导数证明或判断函数单调性的思路 [变式训练] 2．利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3＋3x； (2)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π); (3)f(x)＝eq \f(x－1,x). 解：(1) 因为f(x)＝x3＋3x, 所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0， 所以函数f(x)＝x3＋3x在R上单调递增． (2) 因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)， 所以f′(x)＝cos x－1＜0， 所以f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减． (3) 因为f(x)＝1－eq \f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f′(x)＝eq \f(1,x2)＞0， 所以函数f(x)＝1－eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． 求函数的单调区间 [例3]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋eq \f(1,x). [解]　 (1)函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f′(x)＝6x－eq \f(2,x)，令f′(x)＝0，得x1＝eq \f(\r(3),3)， x2＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)). (2)函数的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x ＝e－x(2x－x2)， 令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) ↘ ↗ ↘ ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． [变式训练] 3．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． [当堂达标] 1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 解析：C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上是增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.] 2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是(　　) A．y＝x4 B．y＝2－x C．y＝x＋cos x D． 解析：C　[对于A选项，函数y＝x4为偶函数，在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减；对于B选项，函数y＝2－x在R上递减；对于C选项，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，则函数y＝x＋cos x在其定义域R上递增；对于D选项，函数在(0，＋∞)上递减．故选C.] 3．若函数f(x)＝sin x－eq \f(1,2)x，则函数f(x)在区间(0，π)上的单调增区间为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) 解析：D　[f′(x)＝cos x－eq \f(1,2)，由f′(x)＞0，得cos x＞eq \f(1,2)，在区间(0，π)上，当0＜x＜eq \f(π,3)时，满足cos x＞eq \f(1,2).] 4．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间． 解：f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)． $$