5.2.2 导数的四则运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

5．2.2　导数的四则运算法则 第五章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 上节课学习了五种常见函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝eq \f(1,x)、y＝eq \r(x)的导数公式及基本初等函数求导公式和它们的应用．那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节课要研究的问题． [知识梳理] [知识点]　导数的运算法则　 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 1．和(差)的导数 符号表示：[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　. 2．积的导数 符号表示：[f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　. 特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝　cf′(x)　. 3．商的导数 符号表示： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝x3·2x的导函数是(　　) A．y′＝3x2·2x B．y′＝2x3·2x C．y′＝3x2·2x＋2xln 2 D．y′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2 解析：D　[y′＝(x3·2x)′＝(x3)′·2x＋x3·(2x)′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2.] 3．(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2x)))′＝__________； (2)(xex)′＝　__________. 解析：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2x)))′＝eq \f(2x－x·2xln 2,2x2)＝eq \f(1－xln 2,2x)； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 答案：(1)eq \f(1－xln 2,2x)　(2)(1＋x)ex 导数四则运算法则的应用 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(1,5)x5－eq \f(4,3)x3＋3x＋eq \r(2)； (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； (3)y＝3eq \r(3,x4)＋4eq \r(x3). [解]　(1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x5－\f(4,3)x3＋3x＋\r(2)))′ ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x5))′－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x3))′＋(3x)′＋(eq \r(2))′ ＝x4－4x2＋3. (2)法1∶y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2) ＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 法2：∵y＝12x10－7x8－12x6， ∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3eq \r(3,x4)＋4eq \r(x3))′＝(3xeq \f(4,3))′＋(4xeq \f(3,2))′ ＝4eq \r(3,x)＋6eq \r(x). 1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导． [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝eq \f(ln x,x2＋1)；(4)y＝x2－sin eq \f(x,2)coseq \f(x,2). 解：(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝eq \f(x2＋1－2x2·ln x,xx2＋12). (4)∵y＝x2－sineq \f(x,2)coseq \f(x,2)＝x2－eq \f(1,2)sin x， ∴y′＝2x－eq \f(1,2)cos x. 导数四则运算法则在实际生活中的应用 [例2]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为c(x)＝eq \f(5 284,100－x)(80＜x＜100)， 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1) 90%；(2) 98%. [解]　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 c′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5 284,100－x)))′＝eq \f(5 284′×100－x－5 284100－x′,100－x2) ＝eq \f(0×100－x－5 284×－1,100－x2)＝eq \f(5 284,100－x2). (1)因为c′(90)＝eq \f(5 284,100－902)＝52.84，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨． (2)因为c′(98)＝eq \f(5 284,100－982)＝1 321，所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨． 明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫． [变式训练] 2．已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－eq \f(1,8)q，求： (1)q从1变到3时，利润L关于产品数量q的平均变化率； (2)L′(2)并解释它的实际意义． 解：(1)收入R＝q·p＝qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))＝25q－eq \f(1,8)q2， 利润L＝R－C＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25q－\f(1,8)q2))－(100＋4q) ＝－eq \f(1,8)q2＋21q－100(0＜q≤200). eq \f(L3－L1,3－1)＝20.5. (2)L′＝－eq \f(1,4)q＋21，L′(2)＝21－eq \f(1,2)＝20.5. L′(2)表示生产数量为2时，产品数量每增加一个，利润增加20.5元． 　　　导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例3]　(1)函数y＝3sin x在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． ①求f(1)＋f′(1)； ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． (1)[解析]　由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x， 所以函数在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为3×coseq \f(π,3)＝eq \f(3,2). [答案]　eq \f(3,2) (2)[解]　①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x, 得f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq \f(1,x)＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 关于函数导数的应用及其解决方法 1．应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用； 2．方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用． [变式训练] 3．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a， 所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b， 所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq \f(3,2)， 则f(x)＝x3－eq \f(3,2)x2－3x＋1，从而f(1)＝－eq \f(5,2). 又f′(1)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. [当堂达标] 1．(多选)下列求导运算错误的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))′＝1＋eq \f(3,x2) B．(log2x)′＝eq \f(1,x ln 2) C．(3x)′＝3x D．(x2cos x)′＝－2x sin x 解析：ACD　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))′＝x′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)))′＝1－eq \f(3,x2)，故A错误；(log2x)′＝eq \f(1,x ln 2)，B正确；(3x)′＝3x·ln 3，故C错误；(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，故D错误．] 2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4　　　 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析：B　[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.] 3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq \f(3,t)(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________． 解析：∵s′＝2t－eq \f(3,t2)，∴v＝s′(4)＝8－eq \f(3,16) ＝7eq \f(13,16) (m/s)． 答案：7eq \f(13,16) m/s 4．求下列函数的导数： (1)y＝x3ex；(2)y＝eq \f(2sin x,x2). 解：(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′ ＝3x2ex＋x3ex. (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin x,x2)))′＝eq \f(2sin x′x2－2sin x·x2′,x22) ＝eq \f(2x2cos x－4xsin x,x4)＝eq \f(2xcos x－4sin x,x3). $$