5.1.2 导数的概念及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 第五章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.了解导数概念的实际背景，体会极限思想． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 2．通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养. [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． [知识梳理] [知识点一]　函数的平均变化率的定义　 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应的函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx )－f(x0)，我们把比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 1.平均变化率的几何意义是什么？ [提示]　设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)为割线AB的斜率，如图所示． [知识点二]　函数在某点处的导数(瞬时变化率)　 如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). [知识点三]　函数在某点处的导数的几何意义　 1．切线：如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义：割线P0P的斜率k＝eq \f(fx－fx0,x－x0)，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝　eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)　＝　f′(x0)　. 2.曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ [提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． [知识点四]　导函数的定义　 当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝ y′＝ eq \f(fx＋Δx－fx,Δx). 3.f′(x0)与f′(x)有什么区别？ [提示]　f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．] 3．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________． 解析：f′(6)＝ eq \f(f6＋Δx－f6,Δx)＝ eq \f(2－2,Δx)＝0. 答案：0 求函数在一点处的导数 [例1]　(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 eq \f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝1，则f′(x0)＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3) (2)求函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数． [思路点拨]　(1)类比f′(x0)＝ eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)求解． (2) (1)[解析]　∵ eq \f(fx0－3Δx－fx0,Δx) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·－3)) ＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－eq \f(1,3)，故选C. [答案]　C (2)[解]　∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1))) ＝Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)， ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)， ∴f′(1)＝ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2. 求函数y＝f(x)在x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限． [变式训练] 1．已知f′(1)＝－2，则 eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)＝　________. 解析：∵f′(1)＝－2，∴ eq \f(f1－2Δx－f1,Δx) ＝ eq \f(f1－2Δx－f1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×－2Δx)＝－2 eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. 答案：4 2．求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq \f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝ eq \f(Δy,Δx)＝ (6＋3Δx)＝6. 实际问题中的瞬时变化率问题 [例2]　枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解]　位移公式为s＝eq \f(1,2)at2， ∵Δs＝eq \f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq \f(1,2)ateq \o\al(2,0)＝at0Δt＋eq \f(1,2)a(Δt)2， ∴eq \f(Δs,Δt)＝at0＋eq \f(1,2)aΔt， ∴ eq \f(Δs,Δt)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(at0＋\f(1,2)aΔt))＝at0. 将a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s代入得at0＝800 m/s. ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0. [变式训练] 3．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)， (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝eq \f(120,0＋5)＋15＝39，T(10)＝eq \f(120,10＋5)＋15＝23，故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为eq \f(T10－T0,10)＝－eq \f(16,10)＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T′(5)＝ eq \f(\f(120,5＋Δt＋5)＋15－\f(120,5＋5)－15,Δt) ＝－1.2， 它表示t＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 [例3]　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． [思路点拨]　(1)求y′|x＝1→求切点→用点斜式方程求切线 [解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． y′|x＝1＝ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(1＋Δx3－1,Δx) ＝ [3＋3Δx＋Δx2]＝3. ∴k＝y′|x＝1＝3. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知，由题意可知，即eq \f(y0－1,x0－1)＝3xeq \o\al(2,0)， 又y0＝xeq \o\al(3,0)，所以eq \f(x\o\al(3,0)－1,x0－1)＝3xeq \o\al(2,0)，即2xeq \o\al(2,0)－x0－1＝0， 解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2). ①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－eq \f(1,2)时，切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))，相应的切线方程为y＋eq \f(1,8)＝eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即3x－4y＋1＝0. [母题变式] 第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ [解]　由y＝3x－2，y＝x3， 解得x＝1，y＝1，或x＝－2，y＝－8， 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [变式训练] 4．已知曲线y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程． 解：y′＝ eq \f(Δy,Δx)＝eq \f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)＝ (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)，即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)． 将P(3,9)及y0＝2xeq \o\al(2,0)－7代入上式，得9－(2xeq \o\al(2,0)－7)＝4x0(3－x0)， 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. [当堂达标] 1．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是(　　) A．2　　 B．3 C．4　　　 D．5 解析：B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3Δx,Δx)＝3，∴当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)趋于3.] 2．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3eq \r(3) D．－3eq \r(3) 解析：AB　[f′(x0)＝ eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ＝ eq \f(x0＋Δx3＋x0＋Δx－1－x\o\al(3,0)＋x0－1,Δx) ＝ [3xeq \o\al(2,0)＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3xeq \o\al(2,0)＋1＝4， 解得x0＝±1.] 3．设函数f(x)在x＝1处存在导数，其值为2，则 eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝________. 解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq \f(1,3) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx) ＝eq \f(1,3)×f′(1)＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 4．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)， 求：(1)eq \f(Δy,Δx)；(2)f ′(1)． 解：(1)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝ eq \f(1＋Δx2＋3－12＋3,Δx)＝2＋Δx. (2)f ′(1)＝ eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝ (2＋Δx)＝2. $$