4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 第四章 数列 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 01 课时 素养提升 02 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 　 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 　 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 1.通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养. 灵活设元解等差数列 [例1]　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． [解]　法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b－a＝c－b＝d－c，,a＋b＋c＋d＝26，,bc＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5，,c＝8，,d＝11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝11，,b＝8，,c＝5，,d＝2，)) ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，,a1＋da1＋2d＝40，)) 化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a\o\al(2,1)＋3a1d＋2d2＝40，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－3，)) ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，)) 化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).)) ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． 2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. 3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. [变式训练] 1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为eq \f(85,9)，求这5个数． 解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝\f(85,9)，)) 整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9)，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(解得a＝1，,d＝±\f(2,3).)) 当d＝eq \f(2,3)时，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,3)； 当d＝－eq \f(2,3)时，这5个数分别是eq \f(7,3)，eq \f(5,3)，1，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3). 综上，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,3)或eq \f(7,3)，eq \f(5,3)，1，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3). 等差数列性质及应用 [例2]　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [解]　方法一　因为a1＋a7＝2a4，所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9， 即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，则an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，则an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*；或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N*. [母题变式] 在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? [解]　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d， ∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d， aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d. ∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 等差数列的性质 1．若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [变式训练] 2．等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝(　　) A．10　　　　　　 B．15 C．20 D．40 解析：B　[由等差数列的性质，得a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1 006.因为a1，a2 011是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 011＝10.所以a2＋a1 006＋a2 010＝eq \f(3,2)×10＝15.] 等差数列的应用问题 [例3]　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围． [解]　设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{ an }． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 所以数列{ an }是一个公差为－d的等差数列． 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(220－10d≥11，,220－11d＜11，))解得19＜d≤20.9. 所以，d的取值范围为19＜d≤20.9. 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用．将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程． [变式训练] 3．邹城市是孟子的故乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米，那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为(　　) A．2026 B．2027 C. 2028　 D．2029 解析：C　[设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an万平方米．由题意可知{an}是等差数列，首项a1＝400 ，公差d＝50，所以an＝400＋(n－1)50＝50n＋350，令50 n＋350＞820，解得n＞eq \f(47,5)，由于n∈N*，则n≥10,2 019＋(10－1)＝2 028，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米．] [当堂达标] 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.] 2．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：D　[(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.] 3．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元． 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝ 11．2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 答案：23.2 4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解：法一：设这三个数为a，b，c(a＜b＜c)， 则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝18，,a2＋b2＋c2＝116，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，,c＝8.)) 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，　 　 ①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，　②)) 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4,6,8. $$