4.2.1 第1课时 等差数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 第四章 数列 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列， 建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的概念　 1．等差数列概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个　常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个　常数　叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母　d　表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． [知识点二]　等差中项　 1．条件：如果a，A，b成等差数列． 2．结论：那么A叫做a与b的等差中项． 3．满足的关系式是　2A＝a＋b　. 1.在所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0. [提示]　插入的数分别为3,2，eq \f(a＋b,2)，0. [知识点三]　等差数列的通项公式　 1．以首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝ 　a1＋(n－1)d　. 2.由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？ [提示]　只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可． 2．从函数角度认识等差数列{an}． 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(　　) (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．(　　) (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (6)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案：(1) ×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________． 解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C.又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.] 答案：60° 等差数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解]　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [变式训练] 1．判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，… 解：由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列． 　等差中项 [例2]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1. 又c是3与7的等差中项， ∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝eq \f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [变式训练] 2．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8＋2＝2a，,a＋b＝2×2，,2＋c＝2b.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－1，,c＝－4.)) 答案：5　－1　－4 3．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a5＝________. 解析：由数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则有eq \f(1,a3＋1)＋eq \f(1,a7＋1)＝eq \f(2,a5＋1)，可解得a5＝eq \f(7,5). 答案：eq \f(7,5) 等差数列的通项公式及其应用 [例3]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝eq \f(5,4)，a7＝－eq \f(7,4)，求a15的值． [思路点拨]　设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解． [解]　(1)∵a4＝7，a10＝25， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝7，,a1＋9d＝25，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，)) ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5(n∈N*)． (2)法一：(方程组法)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(11,4)，,d＝－\f(3,4)，)) ∴a15＝a1＋(15－1)d＝eq \f(11,4)＋14×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4). 法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d， 即－eq \f(7,4)＝eq \f(5,4)＋4d，解得d＝－eq \f(3,4)， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq \f(5,4)＋12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4). 1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝a，,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [变式训练] 4．在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)设{an}的公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝2，)) 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43 因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.)) 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n， 所以a10＝13－10＝3. 根据递推公式判定与证明等差数列 [例4]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2). (1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由； (2)求an. [思路点拨]　①要判断数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列，需要先求eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)的表达式， ②求出数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通项公式． [解]　(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)， ∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)，∴an＝eq \f(2,n). [母题变式] 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n＞1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2) ＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an,2an－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2an－2)＝eq \f(1,2). 又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)，∴数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)知bn＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)n. ∵bn＝eq \f(1,an－2)，∴an＝eq \f(1,bn)＋2＝eq \f(2,n)＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n)＋2. 2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否为等差数列． [解]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝eq \f(3,2)，但a2－a1＝1≠eq \f(3,2)， 故数列{an}不是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． [变式训练] 5．已知函数f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定． (1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列； (2)当x1＝eq \f(1,2)时，求x2 024. 解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)， ∴eq \f(1,xn)＝eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,xn－1)， ∴eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,3)(n≥2且n∈N*)， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是公差为eq \f(1,3)的等差数列． (2)由(1)知eq \f(1,xn)＝eq \f(1,x1)＋(n－1)×eq \f(1,3)＝2＋eq \f(n－1,3)＝eq \f(n＋5,3)， ∴eq \f(1,x2 024)＝eq \f(2 024＋5,3)＝eq \f(2 029,3)，∴x2 024＝eq \f(3,2 029). [当堂达标] 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 解析：A　[设{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝47，,d＝－8.))所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.] 3．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为________． 解析：eq \f(a＋b,2)＝eq \f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq \f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 4．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由． 解：因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数)．又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列. $$