4.1 第1课时 数列的概念与简单表示方法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示方法 第四章 数列 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第四章 数列 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法． 2．了解数列是一种特殊函数. 通过数列概念及数列与函数的关系，以及通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列. 那么什么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点一]　数列的有关概念 1．数列相关概念 一般地，我们把按照　确定的顺序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列的第一个位置上的数叫做 　首项　，常用符号　a1　表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　an　表示． 数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的　第1项(或首项)　，　第2项　，…，　第n项　，…. 2．数列的表示 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}　. 3．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：通项公式、　列表法　、　图象法　. 1. (1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？ [提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数． (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． [知识点二]　数列的单调性 　 递增数列 从第2项起，每一项都　大于　它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都　小于　它的前一项的数列 常数列 各项都　相等　的数列 [知识点三]　数列与函数　 　数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2.数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ [提示]　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． [知识点四]　数列的通项公式　 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的　通项　公式． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　) (2)数列的项不能相等．(　　) (3)数列可以用图形表示．(　　) (4)数列的通项公式不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知an＋1－an＝0，n∈N*，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　 B．递减数列　 C．常数列 D．不能确定 解析：C　[an＋1＝an，n∈N*，即数列的各项相同，故数列{an}是常数列．] 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝________. 解析：2　[a2＝2×22－3×2＝2.] 数列的概念及分类 [例1]　已知下列数列： ①2 020,2 021,2 022,2 023,2 024,2 025； ②1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…； ③1，－eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，eq \f(－1n－1·n,2n－1)，…； ④1,0，－1，…，sineq \f(nπ,2)，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号) [解析]　①为有穷、递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④为无穷、摆动数列，也是周期为4的周期数列；⑤为无穷递增数列；⑥为有穷、常数列． [答案]　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④ 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性)； (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限． [变式训练] 1．(1)(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的项数是无限的 解析：BC　[对于A，因为数列的项是有顺序的，因此两个数列是不同的数列，故A是错误的；对于B，由数列和函数的关系可知是正确的；对于C，由数列的表示可知正确；对于D，由于数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故D错误．] (2)给出下列数列： ①2017～2024年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180； ②无穷多个eq \r(3)构成数列eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是　________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________． 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列． 答案：①　②③　①　②　③ 由数列的前几项写通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数． (1)1eq \f(1,2)，2eq \f(2,3)，3eq \f(3,4)，4eq \f(4,5)，…； (2)11,102,1 003,10 004，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2). [思路点拨]　①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？ [解]　(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，…，与序号n的关系是eq \f(n,n＋1)，所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n2＋2n,n＋1). (2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1 000＋3,10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n. (3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1. (4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以它的一个通项公式是an＝eq \f(n2,2). 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [变式训练] 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1,11,111,1 111，…. 解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)． (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)． (3)原数列的各项可变为eq \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1,9)(10n－1)(n∈N*)． 数列通项公式的应用 [例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ [思路点拨]　(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断． [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝eq \f(34,3)，均不合题意，所以68不是该数列的项． [母题探究] 若本例中的条件不变， (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ [解]　(1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq \f(2,3)(舍去)，所以20是该数列的第10项． 1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，3，…，n})这一约束条件． [变式训练] 3．数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n2－21n,2)(n∈N*)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)若0是{an}中的第n项，则eq \f(n2－21n,2)＝0， 因为n∈N*，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则eq \f(n2－21n,2)＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项相等． [当堂达标] 1．下列各项表示数列的是(　　) A．　△，　○，　☆，　□ B．2 008，　2 009，　2 010, …， 2 024 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. a＋b，　a－b，　ab，　λ a 解析：B　[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．] 2．(多选)下列命题错误的是(　　) A．数列eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，eq \f(5,6)，…的一个通项公式是an＝eq \f(n,n＋1) B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列 D．数列eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n)是递增数列 解析：ACD　[由通项公式知a1＝eq \f(1,2)，A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D不正确．] 3．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…，则5eq \r(3)是该数列的第__________项. 解析：观察可得数列的一个通项公式是an＝eq \r(4n－1)，而5eq \r(3)＝eq \r(75)＝eq \r(4×19－1)，所以5eq \r(3)是该数列的第19项． 答案：19 4．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))). (1)求这个数列的第10项； (2)eq \f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 解：设f(n)＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq \f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq \f(3n－2,3n＋1). (1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝eq \f(28,31). (2)令eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(98,101)，得9n＝300. 此方程无正整数解，∴eq \f(98,101)不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)， 又n∈N*，∴0＜eq \f(3,3n＋1)＜1，∴0＜an＜1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. $$