精品解析：甘肃省天水市秦安县第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024－2025学年度第二学期高一级期末考试 数学试题 命题教师：高一数学命题组一 校对：班佩佩 审题教师：王利民 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算可求得，再由虚部定义可得结果. 【详解】易知， 因此可得复数的虚部为. 故选：C 2. 在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率的公式计算即可. 【详解】由八卦图可知，抽到恰好含有两个阳爻的情况有3种，所以抽到恰好含有两个阳爻的概率为. 故选：B 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标运算与垂直关系的坐标表示求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以，解得. 故选：D 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 5. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断C，由包含的基本事件可判断D. 【详解】因为事件可以同时发生，所以与不是互斥事件，不是对立事件. 因为事件包含的基本事件不一样，所以事件不相等. 因为，，所以. 故选：C 6. 在中， ，其面积为，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： ，解得： ， 由余弦定理： ， 结合正弦定理结合分式的性质，则： . 本题选择B选项. 7. 一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】圆台的高为， 圆台的体积． 故选：D 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系逐选项判断即可 【详解】对于A，若，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两直线平行，所以，故A正确； 对于B，若，则与可能平行，也可能相交或异面，故B错误； 对于C，若，由线面垂直的位置关系得，故C正确； 对于D，若，则可能平行，也可能相交，故D错误， 故选：AC. 10. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标恰好被命中一次的概率为 B. 目标恰好被命中两次的概率为 C. 目标被命中的概率为 D. 目标被命中的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误. 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次， 在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误； 在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确； 在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确． 故选：BD． 11. 如图，在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 存在点，使得平面 C. 平面平面 D. 过三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，交于点得共面，可判断A；当，分别为，中点时，证明，可判断B；证明与平面后得面面垂直，可判断C；作出过，，三点的截面后可判断D． 【详解】，，共线，即，交于点，因此，共面，故A错误； 由于正方体中，，因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确； 在上取点，使得，连结，，， 易知，又正方体中，，所以，，共面， 就是过，，三点的正方体的截面，它是等腰梯形，故D正确； 当，分别为，中点时，，且， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面，故B正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据相互独立的概率公式进行求解即可. 【详解】已知该电路不通电，根据电路的并联原理，说明三只开关均未闭合， 所以，解得：. 故答案为： 13. 已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量夹角公式计算即可. 【详解】因为单位向量满足，若向量 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将正四面体放置在正方体中，由此可得正方体的内切球即满足条件的球，根据正方体的性质求球的半径，结合球的表面积公式求结论.. 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处， 如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需证明该线段与平面内的一条线段平行即可，即证明. （2）作出辅助线，确定异面直线所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【小问1详解】 证明：取中点，连接、. 因为中点，为中点，故为中位线，得且. 又底面是正方形，为中点，故且. 所以且，所以四边形为平行四边形，故. 又平面平面，故平面. 【小问2详解】 取的中点，连接为的中位线，所以. 故异面直线与所成角等于与所成角，即. 在正方形中，且底面，故为直角三角形， 为中点，得. 由（1）知.为的斜边，， 故，所以. 又，所以. 在中，，由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 16. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y． （1）写出这个试验的样本点． （2）“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ （3）“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？ 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】用列举法求解（1）（2）（3）. 【小问1详解】 解：这个试验的样本点有． 【小问2详解】 “”包含的样本点有；“且”包含的样本点有． 【小问3详解】 “”包含的样本点有；“”包含的样本点有． 17. 一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据二面角为直二面角，得到平面平面，然后根据面面垂直的性质定理证明结论即可. （2）取的中点为，连接，先证明平面，然后利用等体积法求解点到平面的距离 【小问1详解】 因为二面角是直二面角，所以平面平面， 平面平面，又因为在中，， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 记点到平面的距离为，取的中点为，连接， 因为，所以.同（1）可得平面， 由（1）平面，平面得，，即为直角三角形. 又因为和是直角三角形，， ，则，，. 所以 而， 又，解得. 18. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期高一级期末考试 数学试题 命题教师：高一数学命题组一 校对：班佩佩 审题教师：王利民 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 5. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 6. 在中， ，其面积为，则等于 A. B. C. D. 7. 一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标恰好被命中一次的概率为 B. 目标恰好被命中两次的概率为 C. 目标被命中的概率为 D. 目标被命中的概率为 11. 如图，在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 存在点，使得平面 C. 平面平面 D. 过三点的正方体的截面一定是等腰梯形 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则_____. 13. 已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则_____. 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y． （1）写出这个试验的样本点． （2）“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ （3）“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？ 17. 一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $