精品解析：甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

平凉一中2024-2025学年第二学期 期末考试试题 高一数学 本试卷满分150分，考试时间为150分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 与向量平行的单位向量为（    ） A. B. C 或 D. 3. 正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 5. 饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列.某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0～9之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946.由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 7. 从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回地随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为.若，则为实数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分. 9. 假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则（ ） A. A与C互斥 B. C. B与C对立 D. B与D相互独立 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 若正四面体棱长为a，P是棱上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R，r，则（ ） A. B. C. 正四面体棱切球的体积为 D. 若是棱的中点，则当最小时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知，则_______． 13. 在二面角中，，且，，若，，二面角的余弦值为，则________；直线与平面所成角正弦值为________． 四、解答题：共77分. 14. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上. （1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值； （2）若，求取值范围. 15. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 17. 维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点之间的平均离差二乘距离.设维空间点集． （1）若，且点，写出所有的点的坐标； （2）任取维空间中的不同两点．若，求的概率； 18. 如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，点在同一个圆的圆周上，且，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2024-2025学年第二学期 期末考试试题 高一数学 本试卷满分150分，考试时间为150分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，∴对应的点为，位于第一象限． 考点：复数的乘除和乘方． 2. 与向量平行的单位向量为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的模，再利用单位向量的定义求解. 【详解】向量，则， 所以与向量平行的单位向量为或． 故选：C 3. 正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线所成的角的定义，取的中点为，则直线与所成角就是直线与成的角． 【详解】取的中点为，连接，则直线与所成角就是直线与成的角， 由题意得，故异面直线与所成角的大小为. 故选：D． 【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 4. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为不用现金支付， 则 故选：B. 5. 饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列.某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0～9之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946.由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及两个相互对立事件的概率和为1，即可求解. 【详解】由题意可知，10组随机数中， 表示“3名饱和潜水员中都不成功”的有659，845，946，共3个， 所以估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为， 故选：B. 6. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 7. 从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回地随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为.若，则为实数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分类讨论结合排列数及乘法原理应用古典概型计算求解. 【详解】选取小球有种选法， 若为实数，则有2种情况： ①x为偶数，则y为偶数，有种选法； ②x为奇数，则y为奇数，设，， 在中任取一个数，在B中任取一个数； 或者在B中任取一个数，y在A中任取一个数，共种选法. 所以为实数的概率为. 故选：A 8. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设, 因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分. 9. 假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则（ ） A. A与C互斥 B. C. B与C对立 D. B与D相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，C；利用和事件的意义可判断选项B；利用列举法求出并探求它们的关系即可判断作答. 【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为： ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件A={(男，男，男)}，事件B={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}， 事件C={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件D={男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)} 对于A，显然A与C无公共元素，即A与C互斥，A正确； 对于B，(女，女，男)，而(女，女，男)，即，B不正确； 对于C，显然，且，即B与C对立，C正确； 对于D，事件B有4个样本点，事件D有6个样本点，事件BD有3个样本点， 于是有，显然有，即B与D相互独立，D正确. 故选：ACD 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 11. 若正四面体的棱长为a，P是棱上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R，r，则（ ） A. B. C. 正四面体棱切球的体积为 D. 若是棱的中点，则当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据正四面体的性质求解．其内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上，作出图形求出高、内切球的半径、外接球的半径可得结论；对于C，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，再由球的体积公式求出；对于D，将侧面和沿展开成菱形，三点共线时最小，再由几何关系求出. 【详解】对于A选项，如图，在正四面体中，为的中点，为的中心，连接，则平面，设为正四面体外接球的球心，连接， 由题知为正三角形，所以， 在中，，所以， 在中，由，得，解得，故A正确. 一题多解 如图，将正四面体放入正方体中，因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径，故A正确. 对于B选项，设正四面体的内切球的球心为，连接，，，，形成四个全等的正三棱锥，则， 即， 因为，所以，，而，所以，故B错误. 一题多解 如图，设正四面体的内切球与相切于点，则，因为，所以，即，解得，而，所以，故B错误. 对于C选项，正四面体的棱切球与各棱相切于中点，如图，把正四面体放在正方体中，则正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径（提示：正方体的内切球即为正四面体的棱切球）.因为，所以正方体的棱长为，所以正四面体的棱切球的半径为，所以棱切球的体积为，故C正确. 对于D选项，如图，将侧面和沿展开成菱形，在菱形中，连接，交于点，则长即为的最小值.因为正四面体的各棱长都相等，所以，所以.因为是棱的中点，所以，，所以.又因为正四面体的棱长为，所以，， 由勾股定理知.又因为平分，所以（提示：角平分线定理），即.在中，，故，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查正四面体的性质，球的体积公式等. 对于AB，根据正四面体的性质求解．其内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上，作出图形求出高、内切球的半径、外接球的半径可得结论；对于C，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，再由球的体积公式求出；对于D，将侧面和沿展开成菱形，三点共线时最小，再由几何关系求出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及逆用和角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 则，所以. 故答案为：. 13. 在二面角中，，且，，若，，二面角的余弦值为，则________；直线与平面所成角正弦值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 （1）过A作，过点D作，交AE于点E，连接CE，得出为二面角的平面角，进而利用余弦定理和勾股定理即可求解； （2）过作，连接，则由面得，，面， 故是与平面所成角，进而可求解 【详解】 （1）如图，过A作，过点D作，交AE于点E，连接CE，为平行四边形，，，面， ，为二面角的平面角， 利用余弦定理，，得， 在中，； 故答题空1： （2） 如图，过作，连接，则由面得，，面， 故与平面所成角，又在中，已知， 故，又由，得，则 故答题空2为： 【点睛】本题考查余弦定理和解三角形运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题 四、解答题：共77分. 14. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上. （1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算得到，再表示出，求出，最后求出； （2）建立直角坐标系，利用向量的坐标运算得到，再利用二次函数求出函数的最值即可得解. 【详解】（1）因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点， 所以， 在矩形ABCD中，，，， 即，则 （2）以AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，设，； ， ； 的取值范围为：. 【点睛】点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 15. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1），2人 （2）平均数为71，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用频率之和为1，求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数. （2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数. （3）根据独立事件的概率计算方法求事件的概率. 【小问1详解】 由， 解得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽取（人） 【小问2详解】 平均数． 由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3， 设学生成绩中位数为t，，则：，解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则． 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【小问1详解】 由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 17. 维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点之间的平均离差二乘距离.设维空间点集． （1）若，且点，写出所有的点的坐标； （2）任取维空间中的不同两点．若，求的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出方程，求解即可； （2）根据新定义、组合、古典概型求解即可；（ 【小问1详解】 由定义可知，， 即，且， 所以解得满足方程的点坐标为：； 【小问2详解】 （固定点）：设点， 因为， 因为或1，或1， 所以中有两项等于0，两项等于1， 所以满足条件的所有可能情况有， 因为两不同点所有可能情况共有种， 所以的概率． 18. 如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，点在同一个圆的圆周上，且，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）利用等体积法求出体积. （3）由（1）的信息，作出二面角的平面角，利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图， 由为等边三角形，得，又平面平面，且平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 由点在同一个圆的圆周上，，得，即， 又平面，于是平面，又平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 在中，，在中，，由（1）知平面， 所以. 【小问3详解】 设的中点为，连接，则，过点作直线交于点， 由（1）知平面，则平面，又平面，则， 过点作交于点，连接，则，而平面， 因此平面，又平面，则，即为二面角的平面角， 在底面中，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， 不妨设，则，解得， 即为的中点，，在中，， 则，， 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $